Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2.2 Выбор ведущего элемента
3. P
ij
P
ij
= I — свойство идемпотентности матриц P
ij
.
4. Любая мат рица перестановок P может быть разложена в произведение
элементарных матриц перестановок.
5. P
−1
= P
T
— свойств о орт огональности матриц перестановок P .
Теорема 2.2. Если det A 6= 0, то существуют матрицы пе рестановок
P и Q, такие что все угловые (т.е. главные) миноры матрицы P A, равно как
и матриц AP и AP Q, отличны от нуля.
Доказательство. Докажите индукцией по размеру м а т рицы A [12]. 2
Следствие 2.1. Если det A 6= 0, то существуют мат рицы перестановок
P и Q, такие что следующие варианты разложения ма т рицы A суще ствуют
и единственны: P A = L
¯
U, PA =
¯
LU, AP = L
¯
U, AP =
¯
LU, P AQ = L
¯
U,
P AQ =
¯
LU. 2
Отсюда видны три стратегии выбора главного (ведущего) элемента: по
столбцу, по строке и по активной подматрице.
Стратегия I. Первая стратегия (по столбцу) подразумевает, что в
качестве главного на k-м шаг е метода Гаусс а выбирается максимальный
по модулю элемент первого столбца активной подматрицы. Затем этот эле-
мент меня ется местами с диагональным э лементом, что соответствует пере-
становке строк матрицы A
(k−1)
и элементов вектора f
(k−1)
. На самом деле
строки матрицы A
(k−1)
и элементы вектора f
(k−1)
остаются на своих мес-
тах, а переставляются только элеме нты дополнительного вектора, в котором
хранятся номера ст рок исходной матрицы, соответс т в ующие номерам строк
матрицы, т. е. элементы так называемого вектора пе р естановок. В се обра-
щения к элементам матриц L, U и ве ктора f осуществляются через вектор
перестановок.
Стратегия II. Следующая стратегия (по ст р оке) заключается в выборе
в качестве главного элемента максимального по модулю элемента первой
строки активной подматрицы. Затем этот элемент обменивается местами с
диагональным, что соответствует перестановке столбцов матрицы A
(k−1)
и
элементов вектора x. Как и в предыдущем случае, реально обмениваются
только элементы дополнительного вектора, в котором фиксируются пере-
становки столбцов матрицы A. Дост уп к элементам ма триц L, U и вектора
x осуществляется с использованием э т о го вектора.
31

Страницы