Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2.2 Выбор ведущего элемента
Замечание 2.3. Под выбором главного элемента здесь и далее
понимается любая из описанных выше трех стратег ий, которая применима.
Замечание 2.4. При UL-разложении мат рицы A все действия
выполняются аналогично, но в обратном порядке нумерации строк и
столбцов: снизу-вв ерх и справа-налево.
Наряду с гауссовым исключением по столбцам, представленным выше,
возможно проводить гауссово исключение по строкам. Это такая разновид-
ность метода Гаусса, в которой на каждом шаге исключения изменяется
одна строка — первая строка активной подматрицы. Расс м о трим гауссово
исключение по строкам с выбором главного элемента по строке.
Выполняем i-й шаг, т. е. работаем с i-й ст рокой матрицы. В ней еще не
было ни одного исключения неизве стных. Первое дейс т в ие : из i-й строки
вычитаем первую, ум ноженную на a
i1
; затем из i-й строки вычитаем в т о рую,
умноженную на a
i2
, и так далее; в завершение этой серии вычитаний из i-й
строки вычитаем (i −1)-ю, умноженную на a
i(i−1)
. Второе дейс т вие: отыски-
ваем главный элемент в i-й строке и осущест вля ем (если надо) перестановку
столбцов. Третье действие: i-ю строку нормируем (делим на ведущий эле-
мент). Повторяя этот алгоритм n раз, получим L
¯
U-разложение матрицы
AP . При i = 1 шаг, очевидно, неполный, т. е. без в ычитаний.
Таким образом, отличие гауссова исключения по строкам от гауссова
исключения по столцам сводится в а лг о ритме к изменению порядка дей-
ствий: сначала серия вычитаний, а затем — нормировка. Така я воз м ожность
(для варианта A = L
¯
U) представлена в следующем алгоритме.
Алгоритм 3. L
¯
U-разложение по методу Гаусса (по строкам)
Для k = 1 до n
Для i = 1 до k − 1
Вычитаем i-ю строку матрицы A,
умноженную на a
ki
, из k-й строки.
Выбираем главный элемент в k - й строке.
Нормируем k-ю с троку матрицы A.
Замечание 2.5. В описаниях алгоритмов упоминаются элементы
матрицы A. Естеств енно, речь идет о текущих, а не об исходных значе-
33

Страницы