ВУЗ:
Составители:
2 Стандартные алгоритмы LU-разложения
ниях элементов, занимающих указанные позиции матрицы A. Это связано с
выполнением требования к реализации (см. Замечание 2.2).
2.3 Компактные схемы
Следующей разновидностью метода Гаусса являются компактные схемы.
Первая называется компактной схемой Краута, а вторую мы будем назы-
вать компактной схемой Краута «строка за строкой». В схеме К раута
на каждом шаг е исключения изменяются только первый с т о лбец и первая
строка активной подматрицы. В схеме «строка за строкой» на k-м ш аге
изменяется только k-я строка матрицы A.
Выведем формулы схемы Краута для k-го шага. Предположим, что уже
сделаны первые k −1 шаго в , т. е. определены k −1 сто лбец матрицы L и k −1
строка матрицы
¯
U. Из соотношения A = L
¯
U для (i, j)-гo элемента имеем
a
ij
=
n
X
p=1
l
ip
u
pj
. (2.5)
В силу треугольности матриц L и
¯
U при p > i имеем l
ip
= 0 и при p > j
имеем u
pj
= 0. Тогда с учетом того, что u
kk
= 1, для k- го столбца ма т рицы
A находим
a
ik
= l
ik
+
k−1
X
p=1
l
ip
u
pk
, i ≥ k. (2.6)
Из (2.6) следует
l
ik
= a
ik
−
k−1
X
p=1
l
ip
u
pk
, i ≥ k. (2.7)
Следовательно, k-й столбец матрицы L становится известен. Теперь из
(2.5) для k-й строки матрицы A имеем
a
kj
= l
kk
u
kj
+
k−1
X
p=1
l
kp
u
pj
, j > k. (2.8)
Из (2.8) находим
u
kj
=
a
kj
−
k−1
X
p=1
l
kp
u
pj
!,
l
kk
, j > k. (2.9)
34
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 32
- 33
- 34
- 35
- 36
- …
- следующая ›
- последняя »
