Вычислительные методы алгебры и оценивания. Семушин И.В. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

2 Стандартные алгоритмы LU-разложения
Для k = 1 до n − 1
Нормируем первый столбец мат рицы A
(k−1)
.
Для i = k + 1 до n
Вычитаем пе рвую строку матрицы A
(k−1)
,
умноженную на a
(k−1)
ik
, из i-й строки.
Упражнение 2.1. Измените направление процесса Гаусса на обрат-
ное. Дока ж ите, что если процесс Гаусса исключения неизвестных вести от
последнего неизвестного x
n
и о т последнего уравнения системы, двигаясь
вверх по нумерации уравнений и влево по нумерации исключаемых неизв ест-
ных, то получим разложение A = U
¯
L (если нормировать строки) и A =
¯
UL
(если нормировать столбцы). Докажите соответс т в ующие теоремы — ана-
логи теоремы 2.1. Для этого измените определение 2.1 главных миноров.
Описанные выше алгоритмы в том виде, в каком они приведены, на прак-
тике используются очень редко, т. е. только в том случае, если можно га-
рантировать, что в результате гауссова исключения на диагонали не по-
явятся нулевые эле м енты. Однако это можно гарантировать только для мат -
риц специального вида (например, для положительно определенных матриц,
см. разд. 6), поэтому в общем случае используется ме т од Гаусс а с выбором
главного (ведущего) элеме нта.
2.2 Выбор ведущего элемента
Определение 2.2. Матрицей перестановок P называют квадратную
матрицу, в которой каждая строка, а также каждый столбец, с одержит один
ненулевой элемент, равный 1.
Определение 2.3. Элементарной м атр ицей перестановок P
ij
назы-
вают квадратную матрицу, полученную из единичной м а т рицы перестанов-
кой двух строк: i-й и j-й, либо перестановкой двух столбцов: i-го и j-го (оба
варианта перестановок дают один и тот же результат).
Упражнение 2.2. Дока ж ите справедливость следующих утверждений:
1. Произведение P
ij
A производит в A пе ре становку i-й и j-й строк.
2. Произведение AP
ij
производит в A перестановку i-го и j-го столбцов.
30

Страницы