Численные методы решения квантовомеханических задач. Серов В.В. - 7 стр.

UptoLike

Составители:

Рубрика:

но приводит к системам уравнений с полностью заполненной матри-

цей, что компенсируется тем, что при удачном выборе базисных функ-

ций их количество, требующееся для достаточного приближения к точ-

ному решению, невелико. Промежуточным вариантом между сеточны-

ми(разностными) и “базисными” методами является использование ло-

кального базиса, строящегося на сетке, и приводящего к разряженной

матрице. Наиболее часто используемые типы локальных базисных функ-

ций — B-сплайны [

6] и конечные элементы[7]. Оба этих типа функций

строятся из кусков полиномов. Преимуществом B-сплайнов является то,

что они дают максимальный порядок аппроксимации при минимальной

ширине ленты матрицы. Одним из преимуществ конечных элементов яв-

ляется то, что коэффициенты разложения функции по ним совпадают

со её значениями в узлах сетки, но главное их достоинство, приведшее к

практической монополии метода конечных элементов при решении ин-

женерных задач, является возможность постановки граничных условий

на границах сложной формы в многомерном случае.

1.1 Разностные схемы

Пусть у нас есть функция y(x), x ∈ [a..b]. Введем однородную сетку по x

= h(i − 1) + a; i = 1..N, h =

b − a

N − 1

(1.1)

Обозначим y

= y(x

) и попытаемся выразить приближенное значение

n-й производной в i-м узле сетки через значения функции в ближайших

+ 1 узлах,

(n)

j=i+N

j=i−N

. (1.2)