Составители:
т.е. заменить дифференцирование умножением на ленточную матрицу с
полушириной ленты N
b
. Разложим функцию в ряд Тейлора вблизи точки
x
i
y(x) = y(x
i
)+y
′
(x
i
)(x−x
i
)+
1
2
y
′′
(x
i
)(x−x
i
)
2
+
1
6
y
′′′
(x
i
)(x−x
i
)
3
+
1
24
y
(4)
(x
i
)(x−x
i
)
4
+...
(1.3)
и подставим это разложение в (
1.2). Чтобы получилось тождество, долж-
ны обнулится все члены разложения (
1.3), кроме n-го порядка, что эк-
вивалентно
j=i+N
b
X
j=i−N
b
a
ij
(x
j
− x
i
)
k
= k!δ
kn
, k = 0, ..., 2N
b
;
Это система 2N
b
+ 1 линейных уравнений относительно коэффициен-
тов a
ij
. Очевидно, что чтобы она имела однозначное решение(и вообще
смысл), должно быть 2N
b
≥ n. Решая её для случая N
b
= 1 (трехдиаго-
нальная матрица), получаем для первой и второй производных
y
′
i
=
y
i+1
− y
i−1
2h
; (1.4)
y
′′
i
=
y
i+1
− 2y
i
+ y
i−1
h
2
; (1.5)
Эти трехточечные формулы дают значения производных с точностью до
членов порядка h
3
, что при решении уравнений дает точность порядка
h
2
, поскольку число узлов сетки обратно пропорционально h. Заметим,
что матрица для второй производной - симметрична, а для первой - ан-
тисимметрична. Это особенность сетки с равным шагом. Для сетки с
непостоянным шагом полученные разностные операторы не будут об-
ладать этим полезным свойством, и, если исходный дифференциальный
оператор эрмитов, разностный оператор эрмитовым не будет, что являет-
ся одним из главных недостатков разностных схем. Можно пользоваться
8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
