Составители:
Рубрика:
20
2
2
2
1
v
Lmc
c
=− −
а
b
a
Smcds=−
∫
Интегралы движения
Пусть действие инвариантно относительно группы с оператором
01 1
1
( ,..., ) ( ,..., )
s
sis
i
i
Xqq qq
tq
ξξ
=
∂∂
=+
∂∂
∑
Для действительного движения, уже подчиняющегося уравнению Лагранжа, действие
можно рассматривать как функцию от наборов координат и времени начальной и
конечной точек
111
( ,..., , ) ( ,..., , ; ,..., , )
b
a
t
aabb
s
sa sb
t
SLqqtdtSq qtq qt==
∫
Таким образом, подразумевается, что действие не меняется при одновременном
выполнении группового преобразования над обоими наборами переменных.
Следовательно, критерий инвариантности дает
0
ab
XS XS+=
где индексы при операторе, соответственно, обозначают, что дифференцирование ведется
либо по координатам-времени начальной, либо по координатам-времени конечной точки.
Приведем это выражение к физически понятному виду. Для начала преобразуем
a
i
S
q
∂
∂
и
b
i
S
q
∂
∂
, входящие в выражение. Для этого рассмотрим вариацию действия при слабом
изменении траектории
22
11
1
tt
s
ii
i
ii
tt
LL
Sqdtqdt
qq
δδδ
=
∂∂
=+
∂∂
∑
∫∫
&
&
В отличии от случая, когда мы выводили уравнение Лагранжа, мы уже не считаем, что
изменённая траектория имеет те же начальные и конечные точки, что и исходная, поэтому
при интегрировании по частям второго слагаемого в квадратных скобках получается
2
1
11
b
t
ss
ii
ii
iii
t
a
LLdL
Sq qdt
qqdtq
δδ δ
==
∂∂∂
=+−
∂∂∂
∑∑
∫
&&
Поскольку сейчас мы рассматриваем истинное движение, подынтегральное выражение,
представляющее из себя левую часть уравнения Лагранжа, должно равняться нулю. Тогда
