Составители:
Рубрика:
21
11
ss
ii
ii
ii
ba
LL
Sq q
qq
δδ δ
==
∂∂
=−
∂∂
∑∑
&&
и по определению частной производной
;
ba
ii i i
ba
SL S L
qq q q
∂∂ ∂ ∂
==−
∂∂ ∂ ∂
&&
По определению
i
i
L
p
q
∂
=
∂
&
- обобщенный импульс, следовательно
(); ()
ib ia
ba
ii
SS
p
tpt
qq
∂∂
==−
∂∂
Теперь разберемся с производными по времени
a
S
t
∂
∂
и
b
S
t
∂
∂
. Для полных производных по
времени по формуле производной от сложной функции можно записать
11
;
ss
ab
ii
ab
ii
aa i bb i
dS S S dS S S
qq
dt t q dt t q
==
∂∂ ∂∂
=+ =+
∂∂ ∂∂
∑∑
&&
С другой стороны по определению действия
11
( ,..., , ); ( ,..., , )
bb aa
s
bsa
ba
dS dS
Lq q t Lq q t
dt dt
==−
Выражая из этих двух наборов выражений частные производные и учитывая уже
полученные формулы для частных производных по координатам, получаем
11
;
ss
ii ii
ii
ab
ab
SdS
p
qL pqL
tdt
==
∂
=− =−−
∂
∑∑
&&
Величину в квадратных скобках
1
s
ii
i
E
pq L
=
=−
∑
&
назовем энергией. Таким образом, критерий инвариантности приводит к соотношению
01 1 01 1
1 1
( ,..., , ) ( ) ( ,..., , ) ( ) ( ,..., , ) ( ) ( ,..., , ) ( )
s s
s
bbisbib saaisaia
i i
q qtEt q qt pt q qt Et q qt pt
ξξξξ
= =
−+ =−+
∑∑
из чего следует, что величина
101
1
( ,..., , ) ( ,..., , )
s
isi s
i
I
qqtp qqtE
ξξ
=
=−
∑
от времени не зависит
0
dI
dt
=
Такие величины называются интегралами движения.
