Составители:
Рубрика:
6
изменении масштаба, впервые был обнаружен Галилеем. Если увеличить собаку в десять
раз с сохранением масштабов, то её масса возрастёт в 1000 раз, а прочность костей только
в 100, так что такая гигантская собака просто расплющится под собственным весом. А
если вдобавок увеличить Землю в 10 раз, станет еще хуже.
Симметрии в физических законах очень важны, поскольку из их наличия прямо следует,
что некоторые величины, называемые интегралами движения, при движении не
изменяются. В частности, из симметрии относительно трансляций по времени следует
закон сохранения энергии, относительно пространственного переноса – закон сохранения
импульса, а относительно поворота – закон сохранения момента импульса.
В целом, курс построен следующим образом. Он состоит из трех глав, посвященных,
соответственно, принципу локальности, принципу минимума, и принципам симметрии и
относительности. При этом мы не преследуем цели получить глубокое понимание
физических предпосылок и следствий данных принципов, а сосредоточиваемся на
математических дисциплинах, связанных с ними. В целях компактности и получения
практической пользы от данного курса, мы не будем приводить доказательства теорем и
т.п., в отличие математических курсов, и сосредоточимся на рецептах решения простых
задач. В главе о принципе локальности мы рассматриваем дифференциальные уравнения,
поскольку именно с помощью них чаще всего записываются физические законы,
имеющие локальный характер. В главе о принципе минимума мы рассматриваем понятие
действия, выводим уравнения Лагранжа и функцию Лагранжа для механической системы,
а также даем чисто описательное понятие о том, как принцип наименьшего действия
вытекает из квантовой механики. В заключительной главе, посвященной симметриям, мы
даем основы теории групп, в рамках которой интуитивное понятие симметрии
приобретает строгий математический смысл, и с помощью введенных понятий
разбираемся в релятивистском и нерелятивистском принципах относительности, а также
выводим общую формулу для интегралов движения, из которой в частном случаях
следуют известные законы сохранения.
Принцип локальности
В главе о принципе локальности мы рассматриваем дифференциальные уравнения,
поскольку именно с помощью них чаще всего записываются физические законы,
имеющие локальный характер.
Задача Коши
Дифференциальное уравнение первого порядка имеет общий вид
(, ())xftxt=
&
Это отвечает физической ситуации, когда значение физической величины x в данный
момент времени t определяется её значением в предыдущий момент t-dt. Решением
дифференциального уравнения называется функция x(t). У этого уравнения бесконечное
множество решений, все их можно задать обычным (недифференциальным) уравнением
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
