Математика. Часть 3. Элементы теории вероятностей. Шабров С.А. - 24 стр.

UptoLike

Составители: 

Пример 10. Найти вероятность того, что событие A наступит 1400
раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каж-
дом испытании равна 0,6.
Решение. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Ла-
пласа:
P
k,n
(A) =
1
npq
ϕ(x
1
),
где x
1
равно
x
1
=
k np
npq
=
1400 2400 · 0, 6
2400 · 0, 6 · 0, 4
=
40
24
= 1, 67.
Так как функция ϕ(x) четная, то ϕ(1, 67) = ϕ(1, 67).
По таблице приложения B найдем ϕ(1, 67) = 0, 09893. Искомая веро-
ятность
P
1400,2400
(A) =
1
24
· 0, 09893 = 0, 00412.
Пример 11. Вероятность появления события A за время испытаний
равна 0,8. Определить вероятность того, что в 100 испытаниях событие
A появится не менее 75 и не более 90 раз.
Решение. Согласно интегральной теореме Лапласа
P
75,90
(A) = Φ
µ
90 0, 8 · 100
100 · 0, 8 · 0, 2
Φ
µ
75 0, 8 · 100
100 · 0, 8 · 0, 2
=
= Φ(2, 5) Φ(1, 25).
Значение функции Лапласа определяем по таблице приложения C:
Φ(2, 5) = 0, 49379, Φ(1, 25) = 0, 39435. Тогда
P
75,90
(A) = Φ(2, 5) Φ(1, 25) = 0, 49379 + 0 , 39435 = 0, 88814.
6.1. Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в
243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом
испытании равна 0,25.
6.2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8.
Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена
ровно 75 раз.
6.3. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность
того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
6.4. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что
“решка” выпадет ровно N.
24
   Пример 10. Найти вероятность того, что событие A наступит 1400
раз в 2400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каж-
дом испытании равна 0,6.
   Решение. Так как n велико, воспользуемся локальной теоремой Ла-
пласа:
                                      1
                         Pk,n (A) = √     ϕ(x1 ),
                                      npq
где x1 равно
                 k − np 1400 − 2400 · 0, 6       40
            x1 = √     = √                    = − = −1, 67.
                   npq     2400 · 0, 6 · 0, 4    24
Так как функция ϕ(x) — четная, то ϕ(−1, 67) = ϕ(1, 67).
  По таблице приложения B найдем ϕ(1, 67) = 0, 09893. Искомая веро-
ятность
                                     1
                  P1400,2400 (A) =       · 0, 09893 = 0, 00412.
                                     24
  Пример 11. Вероятность появления события A за время испытаний
равна 0,8. Определить вероятность того, что в 100 испытаниях событие
A появится не менее 75 и не более 90 раз.
  Решение. Согласно интегральной теореме Лапласа
                      µ                      ¶     µ                     ¶
                         90 − 0, 8 · 100              75 − 0, 8 · 100
      P75,90 (A) = Φ √                         −Φ √                        =
                           100 · 0, 8 · 0, 2           100 · 0, 8 · 0, 2
                 = Φ(2, 5) − Φ(−1, 25).
Значение функции Лапласа определяем по таблице приложения C:
Φ(2, 5) = 0, 49379, Φ(1, 25) = 0, 39435. Тогда

    P75,90 (A) = Φ(2, 5) − Φ(−1, 25) = 0, 49379 + 0, 39435 = 0, 88814.

   6.1. Найти вероятность того, что событие A наступит ровно 70 раз в
243 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом
испытании равна 0,25.
   6.2. Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,8.
Найти вероятность того, что при 100 выстрелах мишень будет поражена
ровно 75 раз.
   6.3. Вероятность рождения мальчика равна 0,51. Найти вероятность
того, что среди 100 новорожденных окажется 50 мальчиков.
   6.4. Монета брошена 2N раз (N велико!). Найти вероятность того, что
“решка” выпадет ровно N .

                                     24