Математика. Часть 3. Элементы теории вероятностей. Шабров С.А. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

5. Повторные испытания. Формула Пуассона
В случае, когда число n испытаний Бернулли велико, расчеты по фор-
муле Бернулли становятся затруднительными. Если при этом вероят-
ность p успеха в каждом испытании мала, так что можно считать, что
n → ∞, np → λ = const, для расчета P
k,n
(A) можно пользоваться при-
ближённой формулой Пуассона:
P
k,n
(A) ≈ P
k
(A) =
a
k
k!
e
−a
(k = 0, 1, . . .),
где a = np.
На практике формулой Пуассона пользуются в случае, когда число n
несколько десятков или более, а произведение a = np < 10.
Пример 9. Автоматическая телефонная станция получает в среднем
за час 180 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она
получит точно два вызова?
Решение. За минуту АТС в среднем получает
120
60
= 3 вызова, т. е.
a = 3. Тогда
P
2
(A) =
3
2
2!
e
−3
= 4, 5 ·e
−3
.
По таблице приложения A находим e
−3
= 0, 04979. Тогда
P
2
(A) = 4, 5 ·0, 04979 = 0, 22406.
Задачи для самостоятельного решения
5.1. На лекции по теории вероятностей присутствует 200 человек. Ве-
роятность того, что день рождения случайно выбранного студента при-
ходится на определенный день года, составляет
1
365
. Найти вероятность
того, что один человек из присутствующих родился 1 января, и два че-
ловека родились 8 марта.
5.2. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час
300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она полу-
чит точно два вызова?
5.3. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность
того, что на случайно выбранной странице не менее четырех опечаток?
5.4. Среди семян ржи имеется 0,2 % семян сорняков. Какова вероят-
ность при случайном отборе 10000 семян обнаружить 5 семян сорняков?
22
5.   Повторные испытания. Формула Пуассона
   В случае, когда число n испытаний Бернулли велико, расчеты по фор-
муле Бернулли становятся затруднительными. Если при этом вероят-
ность p успеха в каждом испытании мала, так что можно считать, что
n → ∞, np → λ = const, для расчета Pk,n (A) можно пользоваться при-
ближённой формулой Пуассона:
                                  ak −a
               Pk,n (A) ≈ Pk (A) = e    (k = 0, 1, . . .),
                                  k!
где a = np.
   На практике формулой Пуассона пользуются в случае, когда число n
несколько десятков или более, а произведение a = np < 10.
   Пример 9. Автоматическая телефонная станция получает в среднем
за час 180 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она
получит точно два вызова?
                                                  120
   Решение. За минуту АТС в среднем получает          = 3 вызова, т. е.
                                                  60
a = 3. Тогда
                               32 −3
                      P2 (A) = e = 4, 5 · e−3 .
                               2!
По таблице приложения A находим e−3 = 0, 04979. Тогда

                   P2 (A) = 4, 5 · 0, 04979 = 0, 22406.

Задачи для самостоятельного решения

   5.1. На лекции по теории вероятностей присутствует 200 человек. Ве-
роятность того, что день рождения случайно выбранного студента при-
                                                1
ходится на определенный день года, составляет      . Найти вероятность
                                               365
того, что один человек из присутствующих родился 1 января, и два че-
ловека родились 8 марта.
   5.2. Автоматическая телефонная станция получает в среднем за час
300 вызовов. Какова вероятность того, что за данную минуту она полу-
чит точно два вызова?
   5.3. Книга в 1000 страниц имеет 100 опечаток. Какова вероятность
того, что на случайно выбранной странице не менее четырех опечаток?
   5.4. Среди семян ржи имеется 0,2 % семян сорняков. Какова вероят-
ность при случайном отборе 10000 семян обнаружить 5 семян сорняков?


                                   22

Страницы