Математика. Часть 3. Элементы теории вероятностей. Шабров С.А. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

6. Локальная и интегральная теоремы Лапласа
В случае, когда n велико, а a = np > 10, формула Пуассона дает
очень грубое приближение, и для расчета P
k,n
(A) используют локальную
и интегральную теоремы Лапласа.
Теорема 4 (Локальная теорема Лапласа). Вероятность того, что в n
независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появле-
ния события A равна p (0 < p < 1), событие A наступит ровно k раз
(безразлично, в какой последовательности), приближенно равна
P
k,n
(A) =
1
√
npq
ϕ(x
k
),
где
ϕ(x) =
1
√
2π
e
−x
2
/2
, x
k
=
k − np
√
npq
.
Отметим, что приведенная формула вычисления вероятности тем точ-
нее, чем больше n.
Таблица функции ϕ(x) для положительных значений x приведена в
приложении B; для отрицательных значений x пользуются этой же таб-
лицей (так как функция ϕ(x) четная, т. е. ϕ(−x) = ϕ(x)).
Теорема 5 (Интегральная теорема Лапласа). Вероятность того, что
в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность по-
явления события A равна p (0 < p < 1), событие A наступит не менее
k
1
раз и не более k
2
раз, приближенно равна
P
k
1
,k
2
(A) = Φ(x
2
) − Φ(x
1
).
Здесь
Φ(x) =
1
√
2π
x
Z
0
e
−z
2
/2
dz
— функция Лапласа,
x
1
=
k
1
− np
√
npq
, x
2
=
k
2
− np
√
npq
.
Таблица функции Лапласа для положительных значений x (0 6 x 6 5)
приведена в приложении C; для значений x > 6, 5 полагают Φ(x) = 0, 5.
Для отрицательных значений x используют эту же таблицу, учитывая,
что функция Лапласа нечетная, т. е. Φ(−x) = −Φ(x).
23
6.     Локальная и интегральная теоремы Лапласа
   В случае, когда n велико, а a = np > 10, формула Пуассона дает
очень грубое приближение, и для расчета Pk,n (A) используют локальную
и интегральную теоремы Лапласа.
Теорема 4 (Локальная теорема Лапласа). Вероятность того, что в n
независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появле-
ния события A равна p (0 < p < 1), событие A наступит ровно k раз
(безразлично, в какой последовательности), приближенно равна
                                          1
                        Pk,n (A) = √          ϕ(xk ),
                                          npq
где
                          1   2                     k − np
                  ϕ(x) = √ e−x /2 ,            xk = √      .
                          2π                          npq
   Отметим, что приведенная формула вычисления вероятности тем точ-
нее, чем больше n.
   Таблица функции ϕ(x) для положительных значений x приведена в
приложении B; для отрицательных значений x пользуются этой же таб-
лицей (так как функция ϕ(x) четная, т. е. ϕ(−x) = ϕ(x)).
Теорема 5 (Интегральная теорема Лапласа). Вероятность того, что
в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность по-
явления события A равна p (0 < p < 1), событие A наступит не менее
k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

                      Pk1 ,k2 (A) = Φ(x2 ) − Φ(x1 ).

     Здесь
                                          Zx
                                1                    2
                        Φ(x) = √               e−z       /2
                                                              dz
                                 2π
                                          0
— функция Лапласа,
                         k1 − np              k2 − np
                     x1 = √      ,        x2 = √      .
                            npq                  npq
Таблица функции Лапласа для положительных значений x (0 6 x 6 5)
приведена в приложении C; для значений x > 6, 5 полагают Φ(x) = 0, 5.
Для отрицательных значений x используют эту же таблицу, учитывая,
что функция Лапласа нечетная, т. е. Φ(−x) = −Φ(x).

                                     23

Страницы