Теория управления. Шалобанов С.В. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

Докажем, что необходимым условием устойчивости является
положительность всех коэффициентов характеристического уравнения.
Для доказательства разложим левую часть характеристического
уравнения на множители:
0))...()((
210
=
λ
−
λ
λ−λλ
−
λ
n
a
.
Пусть все его корни имеют вещественные отрицательные части
11
α−=λ
,
211
ω±α−=λ j
,
nn
α−=λ
.
Подставив их в уравнение, получим:
0))...()()((
222210
=α+λω+α+λω−α+λα+λ
n
jja .
Поскольку средние два сомножителя дают:
])[(
2
2
2
2
ωαλ
++
,
то видно, что после перемножения скобок получим в уравнении только
положительное коэффициенты. Что и требовалось доказать. Однако
положительность коэффициентов недостаточна для устойчивости системы,
так как они могут появиться и при положительных вещественных частях
комплексных корней. Но все вещественные корни при положительных
коэффициентах уравнения будут обязательно отрицательными.
Критерий устойчивости по Гурвицу
формулируется следующим образом.
Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы
были положительны n главных определителей следующей матрицы
коэффициентов характеристического уравнения системы:
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
nn
n
aa
a
aaa
aaa
2
1
420
531
000
0000
00
00
L
L
LLLLLL
L
L
, . )0(
0
>a
В первую строку матрицы вписываются коэффициенты с нечётными
индексами, во вторую – с чётными, концы строк заполняются нулями так,
чтобы матрица имела n столбцов. По диагонали располагаются
коэффициенты, начиная с a
1
, до a
n
. Указанные главные определители имеют
вид:
.0
0
,0
,0
31
420
531
2
20
31
2
11
>
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=∆
>
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=∆
>=∆
aa
aaa
aaa
aa
aa
a
Они называются определителями Гурвица. Последний определитель
Гурвица, как видно из приведённой выше матрицы, равен:
nnn
a⋅
∆
=∆
−1
.
18

Страницы