Теория управления. Шалобанов С.В. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТОГУ | Хабаровск

Составители: 

Рубрика: 

Для систем первого и второго порядков критерий Гурвица сводится
просто к положительности коэффициентов.
Для системы третьего порядка характеристическое уравнение имеет вид:
0
32
2
1
3
0
=+λ+λ+λ aaaa
.
Условие устойчивости по Гурвицу будет:
0
30211
>⋅−⋅=∆
−
aaaa
n
,
которое словесно формулируется так: “Произведение средних коэффициентов
больше произведения крайних”.
Для системы четвёртого порядка:
0
43
2
2
3
1
4
0
=+λ+λ+λ+λ aaaaa
.
условием устойчивости по Гурвицу будет положительность всех
коэффициентов характеристического уравнения и выполнение неравенства:
0)(
2
14302131
>⋅−⋅−⋅=∆
−
aaaaaaa
n
.
Рассмотрим критерий устойчивости Михайлова. Пусть
характеристический многочлен линейной системы n–ого порядка имеет вид:
nn
nnn
aaaaaD +λ++λ+λ+λ=λ
−
−−
1
2
2
1
10
...)(
.
Подставим в него чисто мнимое значение λ = jω, получим:
)()()(
ω
+ω
=
ω jYXjD
,
где X(ω) = a
n
– a
n-2
ω
2
+…; Y(ω) = a
n-1
ω – a
n-3
ω
3
+….
Изобразим годограф этого выражения на комплексной плоскости
(X, Y)
для различных n, Примерные формы годографов представлены на рис. 3.1.
Рис. 3.1 Кривые Михайлова
Для того чтобы система автоматического управления была устойчива,
необходимо и достаточно, чтобы вектор кривой Михайлова D(jω ) при
изменении ω от 0 до ∞ повернулся, нигде не обращаясь в нуль, вокруг начала
координат против часовой стрелки на угол nπ/2, где n – порядок
характеристического уравнения. Для устойчивых систем кривая Михайлова
должна начинаться при ω = 0 на положительной вещественной полуоси,
поскольку D(0) = a
n
> 0.
19

Страницы