ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Пусть I =
π
0
|sin t|dt = 2. Сделаем замену t = 2011x
π
0
|sin 2011x|dx =
1
2011
2011π
0
|sin t|dt =
1
2011
· 2011I = I.
Аналогично вычислим второй интеграл — он равен I. Ответ: 0.
4. Пусть f(x) = −2x
2
и g(x) = x
2
+ px + q.
Покажем, что прямая x = −
p
6
делит площадь рассматриваемой фи-
гуры пополам. Пусть x
1
и x
2
— абсциссы точек пересечения графиков
функций f(x) и g(x).
С другой стороны, f(x) −g(x) = −3x
2
− px −q является параболой с
корнями x
1
и x
2
. Следовательно, осью симметрии параболы является
прямая x =
1
2
(x
1
+ x
2
), где по теореме Виета x
1
+ x
2
= −
p
3
.
Ответ: x = −
p
6
.
5. В преобразованиях ряда воспользуемся тождеством 4 sin
3
y =
1
4
(3 sin y−
sin 3y) при y =
x
3
n+1
.
∞
n=1
3
n
sin
3
x
3
n
=
1
4
∞
n=1
3
n+1
sin
x
3
n
− 3
n
sin
x
3
n−1
=
1
4
9 sin
x
3
− 3 sin x + 27 sin
x
9
− 9 sin
x
3
+ . . .
= −
3
4
sin x.
Ответ: −
3
4
sin x.
Решения и ответы олимпиады по математической логике
1. Все трое не могут быть Рыцарями, поэтому первый и второй — Лже-
цы. Следовательно, третий сказал правду, поэтому он — Рыцарь.
Стандартное решение. Всего существует 2
3
= 8 вариантов: РРР,
РРЛ, РЛР, ЛРР, РЛЛ, ЛРЛ, ЛЛР, ЛЛЛ. Перебором легко установим
единственный возможный вариант.
Ответ: первый и второй — Лжецы, третий — Рыцарь.
2. Если C ложна, то данная формула Φ = (. . .) ∧ C ложна. Если B и C
истинны, то Φ = ((. . .)∨B)∧C истинна. Осталось рассмотреть случаи
когда A — произвольная, B — ложна, C — истинна. В этом случае
A ∨B = A, тогда (A ∨B) ∧C = A, поэтому Φ = A. Составим таблицу
истинности
