Олимпиады "Недели математики и информатики" в Институте математики и информатики СВФУ. 2012 год. Итоги и решения. Шамаева Э.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СВФУ | Якутск

Составители: 

Рубрика: 

найдем в явном виде
z
1
=
1
2
√
5 − 1
2
+
√
5 +
√
5
2
i
;
z
2
=
1
2
√
5 − 1
2
−
√
5 +
√
5
2
i
;
z
3
=
1
2
−
√
5 − 1
2
+
√
5 −
√
5
2
i
;
z
4
=
1
2
−
√
5 − 1
2
−
√
5 −
√
5
2
i
.
Число w удовлетворяет условиям Re w > 0 и Im w > 0. Таким услови-
ям удовлетворяет только корень z
1
. Следовательно, w = z
1
. Поэтому
cos 72
◦
= Rez
1
=
√
5 − 1
4
.
Критерии оценивания: Полное доказательство P (w) = 0 — 4 б.
Полное доказательство cos 72
◦
=
√
5−1
4
— 3 балла.
4. Матрица
(
1 − d −1 + d − d
2
1 d
)
подходит к условиям задачи для всех
d ∈ R. Возможны другие решения.
5. Решение 1. Определим отображение A
i
: Z
3
→ Z
3
по правилу
A
i
(a, b, c) = (a − 1, b − 1, c − 1) + δ
i
,
где δ
1
= (3, 0, 0), δ
2
= (0, 3, 0), δ
3
= (0, 0, 3).
Ясно, что эти операторы (нелинейные операторы!) коммутируют. По-
этому, если считать, что возможно отрицательное количество хаме-
леонов, то неважно в какой последовательности мы действуем этими
операторами на (13, 15, 17).
Допустим обратное — пусть мы применили оператор A
1
на начальные
данные k раз, затем A
2
— m раз, затем A
3
— n раз, и получили 15δ
j
.
Это означает, что
a + 2k −m −n = 0;
b − k + 2m −n = 0;
c − k −m + 2n = 45.
или
−k −m + 2n = a + b;
−k + 2m −n = −b;
+2k −m −n = −a.

Страницы