Олимпиады "Недели математики и информатики" в Институте математики и информатики СВФУ. 2012 год. Итоги и решения. Шамаева Э.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СВФУ | Якутск

Составители: 

Рубрика: 

Критерии оценивания:
Полное решение с потерей части решения — 5 баллов.
Использовано ошибочная импликация t
2
= y
2
̸=> t = y и выведен ответ —
гипербола или окружность — 2 балла.
4. Вершины сечения A
1
(0, 1, −1), A
2
= (1,
1
2
, −1), A
3
= (1, −1, 0), A
4
=
(−1, −1,
2
3
), A
5
= (−1, 1, −
2
3
).
Пусть v
1
=
−−−→
A
3
A
4
, v
2
=
−−−→
A
3
A
5
, v
3
=
−−−→
A
3
A
1
, v
4
=
−−−→
A
3
A
2
. Поскольку
1
2
[v
1
, v
2
]
=
1
2
sin( [v
1
, v
2
) · |v
1
| · |v
2
| является площадью треугольника
A
3
A
4
A
5
, то искомая площадь пятиугольника A
1
A
2
A
3
A
4
A
5
равна
1
2
(
[v
1
, v
2
]
+
[v
2
, v
3
]
+
[v
3
, v
4
]
)
=
2
√
14
3
+
√
14
3
+
√
14
4
= 5
√
14
4
.
Ответ: 5
√
14
4
.
Критерии оценивания:
Правильно построено сечение и найдены все вершины — 4 балла.
За правильно найденную одну вершины сечения — 0,5 баллов.
Полное решение с арифметической ошибкой — 6 баллов.
5. Пусть Ω — произвольный многоугольник площади 1, A и C — наи-
более удаленные друг от друга точки многоугольника Ω, и r равно
расстоянию между A и C. Тогда все остальные точки выпуклого мно-
гоугльника лежат внутри дисков радиуса r с центрами в точках A и C
и, следовательно, на пересечении этих дисков. Тогда полоса Π
1
, обра-
зуемая прямыми, проходящими через A и C перпендикулярно отрезку
AC, содержит все остальные точки выпуклого многоугольника.
Теперь выберем перпендикулярную к Π
1
полосу Π
2
минимальной ши-
рины, содержащую Ω. Пусть B и D — произвольные общие точки Ω
и границ Π
2
лежащие на разных полуплоскостях, образованных по-
лосой Π
2
.
По определению выпуклой фигуры, стороны четырехугольника ABCD
лежат внутри Ω, тогда S
ABCD
6 S
Ω
.
Сторона AC треугольников ACB и ACD равна ширине прямоуголь-
ника Π
1
∩ Π
2
. Сумма высот ACB и ACD равна высоте Π
1
∩ Π
2
. По-
этому 2S
ABCD
= S
Π
1
∩Π
2
.
Таким образом, построенный прямоугольник Π
1
∩Π
2
имеет площадь,
не превышающую 2S
Ω
= 2.
Критери оценивания:
Полное решение без выбора наиболее удаленных точек — 3 балла.
Рассуждения для треугольника или четырехугольника — 1 балл.
Утверждение "треугольник является наиболее трудным случаем" — 0 б.

Страницы