ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
уравнение эквивалентно системе
{
y > 0;
y
2
= x
2
+ y
2
− 2yh + h
2
;
⇔
{
y > 0;
y =
1
2h
x
2
+
h
2
;
Уравнение y =
1
2h
x
2
+
h
2
задает параболу.
Ответ: Если данная точка не лежит на данной прямой, то искомая
ГМТ является параболой, заданной уравнением y =
1
2h
x
2
+
h
2
. Если
данная точка лежит на данной прямой, то ответом является прямая,
проведенная перпендикулярно к p через A, из которого выбросили A.
Критерии оценивания:
Решен случай A /∈ p — 5 баллов. Решен случай A ∈ p — 2 балла.
Выбор удобной системы координат — 1 балл.
2. Пусть дан треугольник ABC. Диагонали параллелограмма делят друг
друга пополам, поэтому медиана
−−→
AM равна
1
2
(
−−→
AB+
−→
AC). Тогда вектор
−−−→
AO
A
, где точка O
A
делит
−−→
AM в отношении 2 : 1, равен
1
3
(
−−→
AB +
−→
AC).
Аналогично, точка BO
B
=
1
3
(
−−→
BA +
−−→
BC), где O
B
— точка, делящая
медиану
−−→
BN в отношении 2 : 1.
Сравним
−−−→
AO
A
и вектор
−−−→
AO
B
=
−−→
AB +
−−−→
BO
B
=
−−→
AB +
1
3
(
−−→
BA +
−−→
BC).
Далее после замен
−−→
BC =
−→
AC −
−−→
AB и
−−→
BA = −
−−→
AB легко удостоверится
в равенстве векторов
−−−→
AO
A
и
−−−→
AO
B
. Отсюда следует, что O
A
= O
B
.
Тогда аналогично, O
C
= O
B
. Это означает, что медианы имеют одну
общую точку.
Критерии оценивания:
Доказательство факта о том, что
−→
AO
A
+
−−→
BO
B
+
−−→
CO
C
=
−→
O — 1 балл.
Доказательство с помощью предела медиан с многочисленными недо-
четами в доказательстве — 3 балла.
3. Сделаем пару эквивалентных преобразований выражения x
4
− y
4
−
2x
2
+ 1.
(x
2
− 1)
2
− (y
2
)
2
= (x
2
− 1 − y
2
)(x
2
− 1 + y
2
) = 0.
Полученное уравнение эквивалентно системе
[
x
2
− y
2
= 1;
x
2
+ y
2
= 1.
Первое уравнение задает гиперболу, второе уравнение — окружность
радиуса 1.
Ответ: объединение гиперболы x
2
−y
2
= 1 и окружности x
2
+ y
2
= 1.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 7
- 8
- 9
- 10
- 11
- …
- следующая ›
- последняя »
