ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Решения и ответы олимпиады по алгебре
1. Поскольку −2 является корнем P (x) = x
3
+ 507x
2
+ 2016x + 2012, то
по теореме Безу P (x) = (x + 2)Q(x). Частное Q(x) = x
2
+ 505x + 1006
легко найти с помощью деления уголком. Далее легко найти корни
Q(x) по формуле
−b ±
√
b
2
− 4ac
2a
.
Ответ: −2 — корень кратности два, −503.
Критерии оценивания: за каждый найденный корень — 1 балл.
полное решение (найдены все корни, указаны кратности корней, из реше-
ния следует, что других корней нет) — 7 баллов.
полное решение, но не указана кратность корня x = 2 — 6 баллов.
Замечание 1. Поскольку 2012 = 2
2
· 503, то целыми корнями много-
члена P (x) могут быть только числа ±1, ±2, ±4, ±503, ±1006, ±2012.
Замечание 2. Дискриминант равен 251001. Поскольку 500
2
∼ 251001,
то легко догадаться
√
251001 = 501.
2. Пусть x — стоимость супа, y — стоимость второго, z — стоимость
салата, t — стоимость сырка. Перепишем условие задачи в виде ра-
венств:
x + 2y + 2z = 125;
2x + y + z + 2t = 148;
x + y + 3z + t = 122.
Вычтем из суммы первых двух уравнений третье уравнение. Полу-
чится 2x + 2y + t = 151. Ответ: 1 р 51 коп.
Критерии оценивания: полное решение с арифметической ошибкой в конце
решения — 6 баллов.
Замечание 1. Можно было решить систему уравнений стандратно –
привести к ступенчатому виду, выразить переменные через свобод-
ную переменную, и, затем, решение подставить в 2x + 2y + t.
3. (cos 72
◦
+ i sin 72
◦
)
5
= cos 360
◦
+ i sin 360
◦
= 1 по формуле Муавра
(cos φ + i sin φ)
n
= cos nφ + i sin nφ. Поэтому w = cos 72
◦
+ i sin 72
◦
является корнем многочлена z
5
− 1. Поскольку w ̸= 1 , то w является
корнем
z
5
− 1
z − 1
= 1 + z + z
2
+ z
3
+ z
4
.
Теперь ясно, что
(
w
2
+
1+
√
5
2
w + 1
)(
w
2
+
1−
√
5
2
w + 1
)
= 0, поэтому w
является корнем хотя бы одного из этих квадратичных трехчленов.
Корни z
2
+
1−
√
5
2
z + 1 и z
2
+
1+
√
5
2
z + 1 с помощью дискриминанта
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 9
- 10
- 11
- 12
- 13
- …
- следующая ›
- последняя »
