ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
где {a, b, c} = {13, 15, 17}. Заметим, что c = 45 − a − b и потери общ-
ности нет. Выпишем общее решение этой системы: k =
−2a −b
3
+ n,
m =
−a − 2b
3
+ n. Из перебора трёх случаев a = 13, b = 15; a = 13, b =
17; a = 15, b = 17 следует, что система не имеет целых решений. Сле-
довательно, хамелеоны все не могут стать одного цвета.
Решение 2. Пусть (a
i
, b
i
, c
i
) — количество хамелеонов на i-м шаге. Рас-
смотрим сумму модулей разностей между количествами хамелеонов
I = |a
i
−b
i
|+ |a
i
−c
i
|+ |b
i
−c
i
|. При встрече любых двух хамелеонов
каждое слагаемое либо не изменится, либо изменится на 3. В начале
выражение I не кратно 3. В случае одноцветных хамелеонов I = 45 и
кратно 3. Следовательно, хамелеоны все не могут стать одного цвета.
Замечание. Остаток I от деления на 3 называется инвариантом дан-
ного процесса превращений хамелеонов.
Решения и ответы олимпиады по матем. анализу, 1 курс
1. Пусть x
1
= 1 +
√
3 и x
2
— корни многочлена x
2
+ ax + b. Тогда из
равенства x
2
+ ax + b = (x − x
1
)(x − x
2
) следует
{
b = (1 +
√
3)x
2
;
a = −1 −
√
3 − x
2
.
(1)
Избавимся от переменной x
2
, выразив ее через b. Действительно,
x
2
=
b
1 +
√
3
=
(1 −
√
3)b
(1 +
√
3)(1 −
√
3)
= −
1
2
b +
√
3
2
b.
Тогда из второго равенства (1) следует a +
2 − b
2
= −
√
3
2 + b
2
. Ле-
вая часть полученного равенства является рациональным числом. По-
скольку из иррациональности
√
3 следует, что выражение вида
√
3
n
m
,
где n, m ∈ Z, может быть рациональным только при n = 0, то b = −2
и a = −2. Ответ: a = −2, b = −2.
2. Используя тождества cos
2
x+sin
2
x = 1 и cos 2x = cos
2
x−sin
2
x, алгеб-
раическими преобразованиями полученных интегралов легко выве-
сти, что эти интегралы отличаются на постоянные. Второй интеграл
больше первого на 1/2, третий — на 1/4. Ответ: Все трое правы.
3. Докажем от противного. Допустим мы нашли такой многочлен P (x)
и такую точку (a, b), что из нее можно провести как минимум n + 1
касательную к графику многочлена P (x). Пусть абциссы точек каса-
ния касательных x
1
, x
2
, . . . , x
n+1
. Тогда уравнения этих касательных
