ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Олимпиада СВФУ по аналитической геометрии, 1-2 курсы
1. Найдите геометрическое место центров окружностей, касающихся дан-
ную прямую и содержащих данную точку.
2. Докажите с помощью векторов утверждение о том, что медианы тре-
угольника пересекаются в одной точке.
3. Опишите кривую четвертого порядка, заданную на плоскости урав-
нением x
4
− y
4
− 2x
2
+ 1 = 0.
4. Найдите площадь сечения куба с вершинами (±1; ±1; ±1) плоскостью
x + 2y + 3z + 1 = 0.
5. Докажите, что любой выпуклый многоугольник площади 1 можно
заключить в прямоугольник площади не более 2.
19 марта 2012, участвовало 24 студента ИМИ, задачи 3-4 авторские, остальные
подготовлены по мотивам известных задач, составитель — Э.И. Шамаев
1 Скрябин Дмитрий Владимирович ПМ-10 50773 22
2 Ноговицын Дьулустаан Александрович МО-11-2 51771 21
3 Прокопьев Алексей Васильевич МО-11-2 50710 13,5
4 Охлопков Анатолий Анатольевич ФИИТ-11 01740 12
5 Ефремов Гаврил Егорович ПМ-10 00740 11
6-8 Никитин Артем Николаевич ПМ-10 01260 9
6-8 Бурцев Василий Иванович ПМ-10Б 11061 9
6-8 Пермяков Иван Викторович ПМ-10 26001 9
9 Григорьев Максим Иннокентьевич ФИИТ-11 10700 8,5
10 Тимофеев Дмитрий Викторович МО-11-2 50200 7
Команда "Кетчуп" (Скрябин Д.В., Никитин А.Н., Пермяков И.В.) — ди-
плом I ст. Команда "МО-11-2" (Ноговицын Дь.А., Тимофеев Д.В., Мая-
кунов А.А.) — диплом II ст. Команда "404" (Ефремов Г.Е., Бурцев В.И.,
Никифоров Дь.Я.) — диплом III ст.
Олимпиада СВФУ по алгебре, 1-2 курсы
1. Найдите все корни многочлена x
3
+ 507x
2
+ 2016x + 2012.
2. В заводской столовой суп, два вторых и два салата стоили 1 р 25 коп.,
два супа, одно второе, два сырка и салат можно было купить за 1 р
48 коп., все по одному и еще два салата стоило 1 р 22 коп. Сколько
стоило купить два супа, два вторых и сырок?
3. Докажите, что cos 72
◦
+ i sin 72
◦
является корнем многочлена
z
5
− 1
z − 1
=
(
z
2
+
1 +
√
5
2
z + 1
)(
z
2
+
1 −
√
5
2
z + 1
)
.
Найдите cos 72
◦
в радикалах.
