Лекции по эконометрике. Шанченко Н.И. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

93
6. Линейные модели стохастических процессов
6.1. Стационарные стохастические процессы
6.1.1. Основные понятия
Уровни временного ряда х
1
, х
2
, ..., х
n
при наличии случайной составляю-
щей могут рассматриваться как конкретные значения случайных величин X
1
,
Х
2
,..., Х
n
, соответствующих моментам времени t
1
, t
2
, ..., t
n
, т. е. как отдельная
реализация дискретного стохастического процесса.
Cтохастическим процессом называется случайная функция X(t) вещест-
венного аргумента t, принадлежащего некоторому подмножеству Ť множества
действительных чисел. Иными словами, если каждому значению аргумента t
Ť R поставлена в соответствие случайная величина X
t
= X(t), то совокуп-
ность случайных величин {X
t
}представляет собой стохастический процесс.
Если множество определения Ť случайной функции X(t) дискретно, т. е.
Ť = {t
i
}, то стохастический процесс называется дискретным.
Дискретный стохастический процесс представляет собой последовательность
случайных величин X
t
, соответствующих моментам времени t
1
, t
2
, ..., t
T
, ...
.
Характеристики случайного процесса X(t) в общем случае являются функ-
циями от времени t:
математическое ожидание
μ
t
= E[X
t
] = μ(t); (6.1)
дисперсия
σ
2
t
= D[X
t
] = E[(X
t
- μ
t
)
2
] = σ
2
(t), (6.2)
а автоковариация
),()])([(),cov(
21
22112121
ttXXEXX
tttttttt
(6.3)
зависит от t
1
и t
2
.
Стохастический процесс называется стационарным процессом в узком
(сильном) смысле, если совместное распределение вероятностей случайных ве-
личин
n
ttt
XXX ,...,,
21
такое же, как и у случайных величин
n
ttt
XXX ,...,,
21
при любых n, t и τ.
Стохастический процесс называется стационарным процессом в широком
(слабом) смысле, если математическое ожидание μ
t
и дисперсия σ
2
t
не зависят
от времени (одинаковы для всех X
t
), а автоковариация
21
tt
зависит только от ве-
личины лага τ = t
2
–t
1
, т. е.
μ
t
= μ =const;
σ
2
t
= σ
2
= const; (6.4)
)()])([(),cov(
112121
tttttt
XXEXX .
Процесс называется нормальным, если совместное распределение случай-
ных величин X, , X
t
,..., X
t
является n-мерным нормальным распределением.
«Белым шумом» называется последовательность независимых, одинаково рас-
пределенных случайных величин a
t
. Из определения «белого шума» следует, что
μ
t
= const = μ; D
t
= σ
2
t
= const = σ
2
; 0
21
tt
, если t
1
≠ t
2
. (6.5)

Страницы