ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
21
который называется производной Ли 2-формы относительно потока ϕ
t
(x) , порож-
денного векторным полем V . Кстати говоря, аналогично определяется понятие про-
изводной Ли и для любого тензорного поля. Из сказанного выше следует, что 2-форма
локально инвариантна относительно потока, порождаемого векторным полем, тогда
и только тогда, когда ее производная Ли равна нулю. В координатах производная
Ли выражается следующим образом
ÃLω
AB
= V
C
∂
C
ω
AB
+ ω
CB
∂
A
V
C
+ ω
AC
∂
B
V
C
. (29)
Нам осталось вычислить это выражение, учитывая компоненты гамильтонова век-
торного поля (28), вид матрицы (27) и то, что первый член в силу ее постоянства
в канонических координатах будет равен нулю. Например, для значений индексов
A = i, B = m + j имеем ÃLω
ij+m
= ω
k,j+m
∂
i
V
k
+ ω
i,m+k
∂
m+j
V
k
. Так как согласно (27)
ω
k,j+m
= δ
km
, ω
i,m+k
= δ
ik
, то получим ÃLω
ij+m
=
∂
∂q
i
(
∂H
∂p
j
) −
∂
∂p
j
(
∂H
∂q
i
) = 0 . Остальные
компоненты вычисляются аналогично. В результате ÃLω
AB
= 0 . ¤
Теорема 7. Функция F (q, p) является интегралом уравнений Гамильтона (25) то-
гда и только тогда, когда скобка Пуассона {H, F } = 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, (лекция 21), что функция является интегралом
системы (25) или, что то же самое, векторного поля (28), если V (F ) = sgrad(H)F =
0 . Но согласно (28), в натуральном поле реперов это поле имеет вид
sgrad(H) =
X
i
³
∂H
∂p
i
∂
∂q
i
−
∂H
∂q
i
∂
∂p
i
´
.
Поэтому условие инвариантности функции F при действии потока выражается усло-
вием sgrad(H)F =
P
i
³
∂H
∂p
i
∂F
∂q
i
−
∂H
∂q
i
∂F
∂p
i
´
= {F, H} = 0 . ¤
Следствие. В частности, гамильтониан H всегда является первым интегралом
системы (25).
Теорема 8. Если функции F и G являются первыми интегралами уравнений Га-
мильтона, то их скобка Пуассона {F, G} — также первый интеграл.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предыдущей теореме, функции F, G являются
первыми интегралами при условиях {F, H} = 0 , {G, H} = 0 . Из тождества Якоби
(теорема 3) тогда следует {{F, G}, H} = 0 . По теореме 7 это означает, что {F, G} —
первый интеграл. ¤
Таким образом, рассматривая скобки Пуассона уже найденных интегралов, мы
можем получать новые интегралы гамильтоновой системы. Правда, они могут ока-
заться функционально зависимыми с уже найденными. Задача состоит в том, что-
бы найти максимальное число функционально независимых интегралов. Пусть это
будут функции F
1
(q, p), . . . , F
k
(q, p) . Тогда интегральные пути гамильтоновой систе-
мы принадлежат подмногообразиям M
c
⊂ M с неявными уравнениями F
1
(q, p) =
c
1
, . . . , F
k
(q, p) = c
k
, c
s
= const . Ясно, что они инвариантны относительно пото-
ка sgradH . Тем самым задача сводится к рассмотрению системы на многообразии
меньшей размерности 2m − k . При некоторых дополнительных условиях по поводу
поведения решений можно дать более определенный ответ.
Определение. Говорят, что функции F, G находятся в инволюции, если скобка
Пуассона {F, G} обращается в нуль.
Следующий результат мы приводим без доказательства.
Теорема Лиувилля. Пусть на 2m -мерном симплектическом многообразии (M, ω)
21
который называется производной Ли 2-формы относительно потока ϕt (x) , порож-
денного векторным полем V . Кстати говоря, аналогично определяется понятие про-
изводной Ли и для любого тензорного поля. Из сказанного выше следует, что 2-форма
локально инвариантна относительно потока, порождаемого векторным полем, тогда
и только тогда, когда ее производная Ли равна нулю. В координатах производная
Ли выражается следующим образом
à ωAB = V C ∂C ωAB + ωCB ∂A V C + ωAC ∂B V C .
L (29)
Нам осталось вычислить это выражение, учитывая компоненты гамильтонова век-
торного поля (28), вид матрицы (27) и то, что первый член в силу ее постоянства
в канонических координатах будет равен нулю. Например, для значений индексов
A = i, B = m + j имеем L Ã ωij+m = ωk,j+m ∂i V k + ωi,m+k ∂m+j V k . Так как согласно (27)
ωk,j+m = δkm , ωi,m+k = δik , то получим L Ã ωij+m = ∂q∂ i ( ∂p
∂H
j
) − ∂p∂ j ( ∂H
∂q i
) = 0 . Остальные
компоненты вычисляются аналогично. В результате L Ã ωAB = 0 . ¤
Теорема 7. Функция F (q, p) является интегралом уравнений Гамильтона (25) то-
гда и только тогда, когда скобка Пуассона {H, F } = 0 .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Напомним, (лекция 21), что функция является интегралом
системы (25) или, что то же самое, векторного поля (28), если V (F ) = sgrad(H)F =
0 . Но согласно (28), в натуральном поле реперов это поле имеет вид
X ³ ∂H ∂ ∂H ∂ ´
sgrad(H) = − .
i
∂pi ∂q i ∂q i ∂pi
Поэтому условие инвариантности функции F при действии потока выражается усло-
P ³ ∂H ∂F ´
вием sgrad(H)F = ∂pi ∂q i
− ∂H ∂F
∂q i ∂pi
= {F, H} = 0 . ¤
i
Следствие. В частности, гамильтониан H всегда является первым интегралом
системы (25).
Теорема 8. Если функции F и G являются первыми интегралами уравнений Га-
мильтона, то их скобка Пуассона {F, G} — также первый интеграл.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно предыдущей теореме, функции F, G являются
первыми интегралами при условиях {F, H} = 0 , {G, H} = 0 . Из тождества Якоби
(теорема 3) тогда следует {{F, G}, H} = 0 . По теореме 7 это означает, что {F, G} —
первый интеграл. ¤
Таким образом, рассматривая скобки Пуассона уже найденных интегралов, мы
можем получать новые интегралы гамильтоновой системы. Правда, они могут ока-
заться функционально зависимыми с уже найденными. Задача состоит в том, что-
бы найти максимальное число функционально независимых интегралов. Пусть это
будут функции F1 (q, p), . . . , Fk (q, p) . Тогда интегральные пути гамильтоновой систе-
мы принадлежат подмногообразиям Mc ⊂ M с неявными уравнениями F1 (q, p) =
c1 , . . . , Fk (q, p) = ck , cs = const . Ясно, что они инвариантны относительно пото-
ка sgradH . Тем самым задача сводится к рассмотрению системы на многообразии
меньшей размерности 2m − k . При некоторых дополнительных условиях по поводу
поведения решений можно дать более определенный ответ.
Определение. Говорят, что функции F, G находятся в инволюции, если скобка
Пуассона {F, G} обращается в нуль.
Следующий результат мы приводим без доказательства.
Теорема Лиувилля. Пусть на 2m -мерном симплектическом многообразии (M, ω)
