ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22
задана система m функций F
1
(q, p), . . . , F
m
(q, p) , попарно находящихся в инволю-
ции: {F
i
, F
j
} = 0 , i, j = 1, . . . , m . Предположим, что на подмногообразии M
c
функ-
ции F
i
независимы. Тогда, если подмногообразие M
c
компактно и связно, то оно
диффеоморфно m -мерному тору T
m
, а фазовый поток sgradH определяет на M
c
условно периодическое движение.
Последнее означает, что на торе могут быть введены угловые координаты ϕ =
(ϕ
1
, . . . , ϕ
m
) , в которых движение системы описывается уравнением ϕ(t) = ϕ(0)+ωt .
Величина ω = (ω
1
, . . . , ω
m
) = const называется частотой условно периодического
движения.
Эта теорема допускает обобщение, при котором рассматривается произвольное
число функций F
1
(q, p), . . . , F
k
(q, p) , линейная оболочка которых является алгеброй
Ли относительно скобки Пуассона: {F
i
, F
j
} =
k
P
s=1
C
s
ij
F
s
. Теорема Лиувилля получа-
ется при k = m и C
s
ij
= 0 , т.е. алгебра функций коммутативна.
22
задана система m функций F1 (q, p), . . . , Fm (q, p) , попарно находящихся в инволю-
ции: {Fi , Fj } = 0 , i, j = 1, . . . , m . Предположим, что на подмногообразии Mc функ-
ции Fi независимы. Тогда, если подмногообразие Mc компактно и связно, то оно
диффеоморфно m -мерному тору T m , а фазовый поток sgradH определяет на Mc
условно периодическое движение.
Последнее означает, что на торе могут быть введены угловые координаты ϕ =
(ϕ1 , . . . , ϕm ) , в которых движение системы описывается уравнением ϕ(t) = ϕ(0)+ωt .
Величина ω = (ω1 , . . . , ωm ) = const называется частотой условно периодического
движения.
Эта теорема допускает обобщение, при котором рассматривается произвольное
число функций F1 (q, p), . . . , Fk (q, p) , линейная оболочка которых является алгеброй
Pk
Ли относительно скобки Пуассона: {Fi , Fj } = Cijs Fs . Теорема Лиувилля получа-
s=1
ется при k = m и Cijs = 0 , т.е. алгебра функций коммутативна.
