Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 132 стр.

20

Если учесть, что в канонических координатах x = (q, p) обратная матрица (ω AB )
лишь знаком отличается от исходной, то в этих координатах скобка Пуассона вычис-
ляется по формуле
                                 X ³ ∂F ∂G ∂G ∂F ´
                        {F, G} =              −         .
                                  i
                                      ∂q i ∂pi ∂q i ∂pi
Несколько следующих результатов имеют технический характер и мы приводим их
без доказательства.
Теорема 3. Скобка Пуассона задает структуру (бесконечномерной) алгебры Ли на
множестве всех гладких функций на симплектическом многообразии.
Д о к а з а т е л ь с т в о заключается в проверке трех аксиом алгебры Ли:
1) Кососимметричность скобки: {F, G} = −{G, F } ;
2) R -линейность по сомножителям;
3) Тождество Якоби: {{F, G}, H} + {{G, H}, F } + {{H, F }, G} = 0 .
Первые два очевидны. Провека третьего требует некоторых вычислений.
  Совершенно анадогично доказывается
Теорема 4. Гамильтоновы векторные поля образуют подалгебру Ли h ⊂ X(T ∗ M ) в
алгебре всех гладких векторных полей на пространстве кокасательного расслоения.
Доказательство аналогично. Следующий результат уточняет эту теорему:
Теорема 5. Для любых гладких функций на симплектическом многообразии
                           [sgradF, sgradG] = sgrad{F, G}.
Это значит, что коммутатор двух г.в.п., порожденных функциями F и G есть г.в.п.,
порожденное скобкой Пуассона этих функций. Другими словами, отображение H →
sgradH является гооморфизмом алгебр Ли. Ядро этого гомоморфизма образовано
локально постоянными функциями. Действительно, если sgradH = 0 , то gradH = 0
и поэтому локально H = const . Если же многообразие связно, то значение константы
одно и то же на всем многообразии и потому Ker(sgrad) = R .

     31.4. Гамильтоновы потоки и первые интегралы.

  Обратимся теперь к потокам ϕt (лекция 21), порождаемым г.в. полями. Это ре-
шения уравнений Гамильтона (25), для получения которых надо задать начальное
условие — точку (q0 , p0 ) . Напомним, что множество диффеморфизмов ϕt образу-
ет 1-параметрическую группу. Она называется гамильтоновым фазовым потоком с
функцией Гамильтона H . Вообще говоря, это решение существует лишь в некото-
ром интервале времени (a, b) и тогда г.в. поле называется локально гамильтоновым.
Но, как и ранее, мы будем для простоты предполагать, что оно существует на всей
временной оси, т.е. г.в. поле является полным.
Теорема 6.Гамильтонов фазовый поток сохраняет симплектичекую структуру
пространства T ∗ M .
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть x = (q, p) ∈ T ∗ M , x(t) = ϕt (x) – фазовый поток,
порожденный векторным полем (28) и ωx(t) – значение симплектической 2-формы в
точке x(t) . Тогда в исходной точке x мы можем рассмотреть ее естественной зна-
чение ωx , а также взаимный образ (ϕ∗t ω)x , полученный преобразованием группы.
Следовательно, 2-форма инвариантна относительно потока, если эти два значения
совпадают при любом выборе точки x . Аналитически это можно выразить следую-
щим образом. Рассмотрим разность (ϕ∗t ω)x − ωx и предел
                                          1
                               Ã V ω = lim (ϕ∗t ω)x − ωx ),
                               L
                                          t