Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 130 стр.

18

  Что мы получили в итоге? Уравнения Эйлера принимают теперь вид dpdt
                                                                     i   ∂L
                                                                       − ∂q i = 0,
                                                     0i  ∂H
а дифференцируя (23) по переменным pi , получаем q = ∂pi . Учитывая, что в силу
     ∂L       ∂H
(23) ∂q i = − ∂q i , получаем систему 2m ОДУ первого порядка


                            dq i   ∂H      dpi    ∂H
                                 =     ,       = − i,                         (25)
                            dt     ∂pi     dt     ∂q
которые называются каноническими уравнениями Гамильтона.
  Процедура перехода от уравнений Эйлера к уравнениям Гамильтона обратима. Ес-
ли задан гамильтониан, то мы определяем обобщенные скорости q 0i = ∂H(q,p)
                                                                      ∂pi
                                                                           , под-
                              0i                                    0
ставляем их в функцию L = pi q − H и получаем лагранжиан L = L(q, q ) .Нетрудно
видеть, что в силу уравнений Гамильтона эта функция удовлетворяет уравнениям
Эйлера. Это говорит о том, что уравнения Гамильтона вполне эквивалентны урав-
нениям Эйлера.
  Рассмотрим, в частности, случай консервативной системы, когда гамильтониан не
зависит явно от времени. Тогда, дифференцируя функцию H = H(q, p) , получим
                             dH   ∂H dq i ∂H dpi
                                 = i     +        .
                              dt  ∂q dt    ∂pi dt
В силу уравнений Гамильтона (25) dH dt
                                        = 0 и, следовательно, H = const . Этот ре-
зультат придает функции H (в случае консервативной системы) физический смысл
полной энергии и вполне аналогичен теореме 1.
   Обратим теперь внимание на то, что многообразия, на которых рассматривают-
ся уравнения Эйлера и уравнения Гамильтона, устроены принципиально различно.
                                         i
Так как обобшенная скорость q 0 = ( dq dt
                                           ) есть векторная величина, то множество
                          0
пар "точка+скорость" (q, q ) образует, как уже говорилось, касательное расслоение
над многообразием M . Это гладкое многообразин расмерности 2m . С другой сто-
роны, импульс p = (pi ) является, как нетрудно проверить, ковекторной величи-
ной, а множество пар "точка+импульс" x = (q, p) образует кокасательное расслое-
ние над многообразием M — дизъюнктное объдинение кокасательных пространств
T ∗ M = ∪Tq∗ M , q ∈ M. В механике оно называется фазовым пространством и яв-
ляется гладким многообразием той же размерности 2m . Дифференциалы (dq i , dpj )
образуют в каждой точке этого многообразия натуральный репер. Его существен-
ной особенностью является то, что оно обладает так называемой симплектической
структурой. Это внешняя 2-форма – косое произведение
                                   ω = dpi ∧ dq i                             (26)
на пространстве кокасательного расслоения. Она замкнута – ее внешний дифферен-
циал равен нулю: dω = 0 . Более того, форма ω точная, поскольку сама является
внешним дифференциалом линейной формы α = pi dq i : ω = dα .
  Если ввести кососимметричную невырожденную матрицу
                                       µ        ¶
                                          0 E
                              (ωAB ) =                                    (27)
                                         −E 0
и обозначить pi = q m+i , то 2-форму (26) можно записать в виде билинейной фор-
мы ω = ωAB q A q B с матрицей (27). Здесь большие индексы принимают две груп-
пы значений: i, m + j . Пусть (ω AB ) – обратная матрица, определенная равенством
ω AC ωCB = δBA . Тогда невырожденный тензор, подобно метрическому тензору, можно