Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 129 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

17
Как мы видели в лекции 29, в этом случае решение вариационной задачи и, следо-
вательно, уранения движения системы удовлетворяет уравнениям Эйлера
d
dt
∂L
∂q
0i
−
∂L
∂q
i
= 0. (21)
В этом случае интерпретация движения механической системы вдоль экстремальных
путей в рамках римановой геометрии оказывается невозможной. Для этого нужно
ввести более общую финслерову геометрию (1918 г.). Метрика в этой геометрии за-
дается с помощью лагранжиана ds = L(q, q
0
)dt . Запишем уравнения Эйлера в раз-
вернутом виде. Так как
d
dt
∂L
∂q
0i
=
∂L
∂q
j
q
0j
+
∂
2
L
∂q
0i
∂q
0j
q
00j
=
∂L
∂q
j
q
0j
+
∂
2
T
∂q
0i
∂q
0j
q
00j
,
то, учитывая (20), получим
a
ij
q
00j
+ Γ
i
(q, q
0
) = 0,
где Γ
i
— сумма членов, не содержащих обобщенных ускорений q
00j
. Но так как
det(a
ij
) 6= 0 , то эти уравнения можно разрешить относительно вторых производных.
В результате получим уравнения Эйлера в виде
q
00i
+ Γ
i
(q, q
0
) = 0.
Стандартным приемом их можно свести к системе 2m обыкновенных дифференци-
альных уравнений на 2m -мерном многообразии переменных (q
i
, q
0j
) . Это значит, что
движение системы можно представить с помощью экстремальных путей в многооб-
разии размерности 2m , состоящем из элементов "точка+скорость" с координатами
(q
i
, q
0j
) . Многообразие T (M) таких элементов представляет собой дизъюнктное объ-
единение касательных пространств T (M ) = ∪T
q
M многообразия M и называется
касательным расслоением многообразия M .
31.2. Гамильтонова механика и симплектическая геометрия.
Кроме уже упомянутого выше принципа Гамильтон сделал в области аналитиче-
ской механики еще одно важное нововведение, приведя основные уравнения движе-
ния – уравнения Эйлера, к новому виду, используя так называемое преобразование
Лежандра. Для этого, во-первых, вместо обобщенных скоростей q
0i
введем новые
переменные,
p
i
=
∂L(q, q
0
)
∂q
0i
, (22)
называемые импульсами. Во-вторых, введем функцию
H = p
i
q
0i
− L(q, q
0
). (23)
Наконец, разрешив уравнения (22) относительно скоростей и выразив их через им-
пульсы, подставим результат в (23). В результате получим функцию
H = H(q
i
, p
j
, t), (24)
которая называется функцией Гамильтона. Заменим, что условием локальной раз-
решимости уравнений (22) относительно переменных q
0i
является отличие от нуля
гессиана det
³
∂
2
L(q,q
0
)
∂q
0i
∂q
0j
´
6= 0 .
                                                                                     17

Как мы видели в лекции 29, в этом случае решение вариационной задачи и, следо-
вательно, уранения движения системы удовлетворяет уравнениям Эйлера
                                     d ∂L      ∂L
                                           0i
                                              − i = 0.                             (21)
                                     dt ∂q     ∂q
В этом случае интерпретация движения механической системы вдоль экстремальных
путей в рамках римановой геометрии оказывается невозможной. Для этого нужно
ввести более общую финслерову геометрию (1918 г.). Метрика в этой геометрии за-
дается с помощью лагранжиана ds = L(q, q 0 )dt . Запишем уравнения Эйлера в раз-
вернутом виде. Так как
                 d ∂L       ∂L 0j     ∂ 2 L 00j      ∂L 0j     ∂ 2 T 00j
                          =      q +             q =      q +             q ,
                 dt ∂q 0i   ∂q j     ∂q 0i ∂q 0j     ∂q j     ∂q 0i ∂q 0j
то, учитывая (20), получим
                                   aij q 00j + Γi (q, q 0 ) = 0,
где Γi — сумма членов, не содержащих обобщенных ускорений q 00j . Но так как
det(aij ) 6= 0 , то эти уравнения можно разрешить относительно вторых производных.
В результате получим уравнения Эйлера в виде
                                    q 00i + Γi (q, q 0 ) = 0.
Стандартным приемом их можно свести к системе 2m обыкновенных дифференци-
альных уравнений на 2m -мерном многообразии переменных (q i , q 0j ) . Это значит, что
движение системы можно представить с помощью экстремальных путей в многооб-
разии размерности 2m , состоящем из элементов "точка+скорость" с координатами
(q i , q 0j ) . Многообразие T (M ) таких элементов представляет собой дизъюнктное объ-
единение касательных пространств T (M ) = ∪Tq M многообразия M и называется
касательным расслоением многообразия M .

  31.2. Гамильтонова механика и симплектическая геометрия.

  Кроме уже упомянутого выше принципа Гамильтон сделал в области аналитиче-
ской механики еще одно важное нововведение, приведя основные уравнения движе-
ния – уравнения Эйлера, к новому виду, используя так называемое преобразование
Лежандра. Для этого, во-первых, вместо обобщенных скоростей q 0i введем новые
переменные,
                                     ∂L(q, q 0 )
                                pi =             ,                         (22)
                                       ∂q 0i
называемые импульсами. Во-вторых, введем функцию
                                   H = pi q 0i − L(q, q 0 ).                       (23)
Наконец, разрешив уравнения (22) относительно скоростей и выразив их через им-
пульсы, подставим результат в (23). В результате получим функцию
                                      H = H(q i , pj , t),                         (24)
которая называется функцией Гамильтона. Заменим, что условием локальной раз-
                                                           0i
решимости уравнений
            ³ 2            ´ (22) относительно переменных q является отличие от нуля
                       0
гессиана det ∂∂qL(q,q
                0i ∂q 0j
                         )
                             6= 0 .

Страницы