Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 131 стр.

                                                                                          19

использовать для перехода от ковекторных полей на многообразии T ∗ M к вектор-
ным и обратно, что выражается в поднятии и опускании соответствующих индексов
                              ξA = ωAB X B ,   X A = ω AB ξB .
Гладкие многообразия, на которых задана невырожденная замкнутая кососиммет-
ричная 2-форма ω , называются симплектическими и обозначаются (M, ω) . С по-
мощью ω на них может быть определено кососкалярное произведение < U, V ) >=
ωAB U A V B = − < V, U > . Это некоторые аналоги римановых многообразий, од-
нако их свойства далеко не аналогичны римановым. Например, симплектические
многообразия всегда ориентируемы и могут иметь только четную размерность. Но
самое существенное отличие заключается в следующем. Как известно любая (псев-
до)риманова метрика в данной фиксированной точке может быть приведена к ка-
ноническому виду, однако это нельзя, вообще говоря, сделать в окрестности. Этому
мешает тензор кривизны. Этого можно добиться лишь в случае, когда тензор кривиз-
ны равен нулю и, следовательно, (псевдо)риманово многообразие является локально
(псевдо)евклидовым (лекция 25). В противоположность этому в симплектических
многообразиях имеет место замечательная
Теорема Дарбу. Пусть (M, ω) – симплектическое многообразие размерности 2m
и x ∈ (M, ω) . Тогда в некоторой окрестности этой точки можно выбрать такую
                                                                         P
                                                                         m
систему координат (q 1 , . . . , q m , p1 , . . . , pm ) , в которой ω =   dpi ∧ dq i .
                                                                    i=1
Формула (26) означает, что кокасательные расслоения относятся к классу симплек-
тических многообразий. Однако, многие из формулируемых далее результатов спра-
ведливы для любых симплектических многообразий.
  Рассмотрим на многообразии T ∗ M функцию Гамильтона H(q, p) и ее дифферен-
циал dH = ∂H
           ∂q i
                       ∂H
                dq i + ∂p j
                            dpj . Мы получили 1-форму или, что то же самое, ковекторное
поле, координатами которого являются градиенты функции H : dH = ( ∂H            , ∂H ) . Со-
                                                                            ∂q i ∂pj
ответствующее ему векторное поле называют косым градиентом функции H . Оно
имеет компоненты
                                               ³ ∂H    ∂H ´
                                  V = sgradH =       ,− i .                             (28)
                                                 ∂pj   ∂q
и называется гамильтоновым векторным полем (короче г.в.полем) на фазовом про-
странстве. При этом функция H называется производящей функцией г.в.поля.
                                         ∂F
  Задача.Покажите, что (sgradF )A = ω AB ∂q B — стандартная операция по поднятию

индекса компонент градиента.

  31.3. Скобки Пуассона.

  Как показывают дифференциальные уравнения (25), которые теперь можно запи-
сать в более компактном виде: dx
                              dt
                                 = sgradH , движение механической системы проис-
ходит по интегральным путям г.в. поля. Таким образом, решение задач гамильтоно-
вой механики в значительной степени сводится к изучению свойств гамильтоновых
векторных полей и производящих их функций. Займемся их изучением.
  Определение. Скобкой Пуассона {F, G} пары гладких функций на симплекти-
ческом многообразии (M, ω) называется функция, определенная равенством
                                                                 ∂F ∂G
                   {F, G} = − < sgradF, sgradG >= −ω AB                    .
                                                                 ∂q A ∂q B