Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 127 стр.

                                                                                           15

      Лекция 31. Геометрические методы в аналитической механике.

  31.1. Вариационные принципы механики. Уравнения Лагранжа.

  Рассмотрим в евклидовом пространстве E3 систему N материальных точек с
радиусами-векторами rσ и массами mσ , σ = 1, . . . , N . Пусть на эти точки дей-
ствуют силы Fσ (rσ ) , под действием которых точки системы движутся по кривым
rσ = rσ (t) , параметризованным временем. Если бы движение системы было свобод-
ным, то траектории точек мы нашли бы, интегрируя уравнения Ньютона mσ r00σ = Fσ .
Однако, как правило, на положение точек наложены связи, которые аналитически
выражаются независимыми уравнениями
                         f s (r1 , . . . , rN , t) = 0,   s = 1, . . . , k < N.
Эти уравнения с геометрической точки зрения представляют собой неявные уравне-
ния поверхности в евклидовом пространстве E3N = E3 × · · · × E3 ( N сомножителей)
с декартовыми координатами (xσ , yσ , zσ ) , положение которой меняется со временем.
Следовательно, движение системы под действием заданных сил можно представить
как движение точки r = (r1 , . . . , rN ) в подвижном многообразии M (t) размерности
m = 3N − k . Это многообразие называется лагранжевым, а его размерность — чис-
лом степеней свободы системы. В дальнейшем для простоты будем предполагать,
что связи не зависят от времени являются идеальными.
  Теперь нужно подправить уравнения Ньютона. Введем дополнительные силы Rσ ,
называемые силами реакции связей и положим mσ r00σ = Fσ + Rσ . Как следует из
равенств rσ (t + h) − rσ (t) = δrσ (t, h) + 0σ (t, h) , возможные перемещения системы,
совместные с наложенными связями, в главной своей части характеризуются векто-
рами δrσ (t, h) = ( ∂rσ
                        ) h , линейно зависящими от h . Они называются виртуаль-
                    ∂h h=0
ными перемещениями. Следовательно, δ — это аналог дифференциала. Что каса-
ется остальных членов, то они содержат величины второго порядка малости по h .
Теперь мы можем сформулировать основной принцип классической механики. Пред-
                                                             −→
варительно напомним, что работа силы F на отрезке AB выражается скалярным
                          −→
произведением W = (F, AB) .
  Принцип Даламбера. Сумма работ сил реакции на любых виртуальных пере-
                          PN
мещениях равна нулю:         (Rσ , δrσ ) = 0 т. е.
                          σ=1
                                    N
                                    X
                                      (mσ r00σ − Fσ , δrσ ) = 0.
                                    σ=1

Введем в области U ⊂ M многообразия M лагранжевы координаты (q i ) , i =
1, . . . , m , так что в области U оно имеет параметризацию r = r(q 1 , . . . , q m ) . Тогда
движение механической системы описывается путем q i = q i (t) в этом многообра-
зии, а из принципа Даламбера после некоторых выкладок следует, что уравнения
движения системы имеют вид
                             d ³ ∂T ´ ∂T
                                      − i = Fi , (i = 1, . . . , m),                     (19)
                             dt ∂q 0i  ∂q
где кинетическая энергия системы T = 12 mσ (r0σ )2 есть сумма кинетических энергий
                               i
                          σ dq
ее точек. Так как r0σ = ∂r
                        ∂q i dt
                                 и T > 0 , то в лагранжевых координатах она принима-
ет вид положительно определенной квадратичной формы относительно обобщенных