Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 125 стр.

                                                                                                    13

  30.2. Экстремальное свойство геодезических

  Проиллюстрируем сказанное выше на примере. Рассмотрим риманово многообра-
зие (M, g) . Как мы видели в лекции 22, геодезические пути играют ту же роль, что
и прямые в евклидовом пространстве — вдоль них единичный касательный вектор
параллелен. Но, как известно, прямые евклидова пространства обладают еще одним
важным свойством: их отрезки являются кратчайшими среди всех путей, соединяю-
щих две данные точки. Покажем, что геодезические пути риманова пространства с
некоторой оговоркой также обладают этим свойством.
Теорема 8. Геодезические риманова пространства являются линиями минимальной
длины среди всех путей, соединяющих две достаточно близкие точки A, B ∈ U од-
носвязной области.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку речь идет о длине пути, в качестве функционала
возьмем интеграл с лагранжианом (лекция 24)
                                 q
                                       s     0i   0j     0i  dxi
                             L = gij (x (t))q (t)q (t), q =
                                                              dt
и запишем уравнения Эйлера. Обратим внимание на то, что лагранжиан не зависит
явно от параметра t . Вычислим производные
                          ∂L      1 ∂L2     ∂L     1 ∂L2
                               =          ,     =        .
                         ∂q 0i   2L ∂q 0i   ∂xi   2L ∂xi
Для упрощения вычислений выберем на искомом пути натуральный параметр, для
которого L = 1 . Обозначая, как и раньше, производную по этому параметру точкой,
получим уравнения Эйлера в виде
                               d ∂L2 ∂L2
                                        −     = 0.
                               dt ∂ ẋi   ∂xi
Это значит, что при таком выборе параметра экстремали с лагранжианами L и L2
совпадают. Далее имеем
        ∂L2               j   ∂L2                 k j    d ∂L2
               = 2g ij ẋ   ,        =  ∂  g
                                          i kj ẋ  ẋ ,    (        ) = 2(∂k gij ẋ k ẋ j + gij ẋ j )
        ∂ ẋ i                ∂xi                        dt ∂ ẋ i
и уравнения Эйлера принимают вид
                                                      1
                               gij ẍ j + (∂k gij − ∂i gkj )ẋ k ẋ j = 0 .
                                                      2
Так как матрица метрического тензора (gij ) невырожденная, то эти уравнения мож-
но разрешить относительно вторых производных. Для этого свернем это уравнение
с компонентами обратного тензора g ki . Получим
                                                       1
                               ẍ k + g ks (∂i gjs − ∂s gij )ẋ i ẋ j = 0 .
                                                       2
Так как член ∂i gjs входит в это выражение симметрично по индексам ij , то его
можно представить в виде 12 (∂i gjs + ∂j gis ) . В итоге получим
                                      ẍ k + Γkij (x)ẋ i ẋ j = 0 .                              (18)
Это и есть дифференциальные уравнения геодезических путей риманова многообра-
зия с метрическим тензором gij (x) , отнесенные к каноническому параметру.
  Замечание. Близость точек A, B области, указанная в условии теоремы, суще-
ственна. В противном случае, как показывает пример сферы, дуга геодезической,