Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 124 стр.

12

               Лекция 30. Вариационные методы в геометрии.

     30.1. Простейшая вариационная задача

  Напомним постановку вариационной задачи и метод ее решения. Рассмотрим мно-
жество F(U ) гладких функций f (x) , определенных в области U ⊂ Rm с гладкой
границей ∂U . Заметим, что это бесконечномерное линейное пространство. Пред-
положим, что на нем определена некоторая топология, которая обычно задается с
помощью некоторой нормы.
  Определение.Функционалом, заданным в пространстве F(U ) называется непре-
рывное отображение J : F(U ) → R .
Таким образом, всякой гладкой функции, определенной в области U ставится в со-
ответствие число. Это обобщает понятие функции. Здесь точками области опреде-
ления являются функции f (x) . По аналогии с задачей нахождения стационарных
точек обычных функций ставится задача нахождения стационарных точек заданного
функционала — точек пространства F(U ) , в которых он достигает экстремальных
значений. Что это означает? Рассмотрим возмущающую функцию h(x) ∈ F(U ) , ко-
торая на границе равна нулю: h(∂U ) = 0 . Сместимся в точку f + εh и рассмотрим
вариацию функционала δJ = J(f + εh) − J(f ) . Аналогом производной является
предел (если, конечно, он существует)
                             δJ         1
                                = lim (J(f + εh) − J(f )),
                             ∂h ε→ 0 ε
называемый вариационной прозводной.
  Определение. Функция f0 (t) называется стационарной для функционала J(f ) ,
если его вариационная производная в точке f0 (t) для любого возмущения равна ну-
лю.
  В дальнейшем мы будем иметь дело лишь с так называемой простейшей вариа-
ционной задачей. Рассмотрим отрезок I = [0, 1] вещественной прямой, пространство
F(I) гладких функций γ(t) = (xi (t)) , i = 1, . . . , m на этом отрезке и функционал
                               Z 1
                                                                    dxi
                        J(γ) =     L(xi (t), q 0i (t), t)dt, q 0i =     .
                                0                                   dt
Здесь L — заданная функция от указанных 2m+1 переменных, называемая лагран-
жианом. Ищутся функции xi (t) , принимающие на концах отрезка I заданные зна-
чения xi (0) = ai , xi (1) = bi и дающие экстремальное значение этому интегралу.
Другими словами, в Rm с заданным лагранжианом L(x, q 0 ) среди всех гладких пу-
тей {γ} , соединяющих две заданные точки A(ai ) и B(bi ) ищется путь (параметри-
зованная кривая), дающий интегралу экстремальное значение. Метод решения этой
задачи определяется следующей теоремой.
Теорема 7. Для того, чтобы функции xi (t) определяли экстремум интеграла J(γ) ,
необходимо, чтобы они удовлетворяли уравнениям Эйлера
                                d ∂L     ∂L
                                       −    = 0.                          (17)
                               dt ∂q 0i ∂xi
  Это система m обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка от-
носительно неизвестных функций xi (t) . Более того, если мы ищем не путь, а кривую
как геометрический объект, то для того, чтобы значение интеграла не зависело от
выбора параметризации, необходимо и достаточно, чтобы лагранжиан был функци-
ей, однородной первой степени по производным: L(xi , λq 0i ) = λL(xi , q 0i ) .