Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 122 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

10
С другой стороны, согласно формуле Стокса, он равен
Z
K
dω =
Z
K
dP ∧ dx + dQ ∧ dy =
Z
K
³
∂P
∂x
−
∂Q
∂y
´
dx ∧ dy.
Таким образом мы получили формулу Грина
I
Γ
(P dx + Qdy) =
Z
K
³
∂P
∂x
−
∂Q
∂y
´
dx ∧ dy. (14)
II. Классическая формула Стокса.
Рассмотрим линейную форму ω = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz в R
3
.
Рассмотрим 2-мерную поверхность M : r = r(u, v) и на ней компактную область
K , ограниченную гладкой замкнутой кривой Γ без самопересечений. Тогда вдоль
кривой
I
Γ
ω =
I
Γ
(P (x, y, z)
dx
dt
+ Q(x, y, z)
dy
dt
+ R(x, y, z)
dz
dt
)dt.
Внешний дифференциал формы ω равен
dω = dP ∧dx+dQ∧dy+dR∧dz =
¡
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
¢
dy∧dz+
¡
∂P
∂z
−
∂R
∂x
¢
dz∧dx+
¡
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
¢
dx∧dy.
Таким образом, общая формула Стокса сводится к
I
Γ
P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
ZZ
K
¡
∂R
∂y
−
∂Q
∂z
¢
dy ∧ dz +
¡
∂P
∂z
−
∂R
∂x
¢
dz ∧ dx +
¡
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
¢
dx ∧ dy, (15)
где первый интеграл вычисляется вдоль кривой Γ , а второй вдоль поверхности.
В евклидовом пространстве E
3
эту формулу можно записать в другом виде. В
прямоугольных координатах коэффициенты формы ω можно отождествить с ком-
понентами векторного поля a(P, Q, R) , а коэффициенты внешнего дифференциала
с компонентами ротации этого поля (лекция 24). Тогда формула Стокса принимает
вид
I
Γ
(a, dr) =
ZZ
K
(rot a, m)dσ,
где интеграл слева называется циркуляцией векторного поля. Эта формула име-
ет следующую гидродинамическую интерпретацию: циркуляция векторного поля по
контуру, ограничивающему область ориентированной поверхности, равна потоку
ротации поля через эту область.
Формула Грина является частным случаем этой формулы. Здесь векторное поле
имеет компоненты a(P, Q) , его ротация одну компоненту
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
, а вектор нормали
равен m(0, 0, 1) .
III. Формула Гаусса-Остроградского.
Пусть Γ — замкнутая поверхность в R
3
, ограничивающая область K и
ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy
— внешняя форма второй степени. Тогда
dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧dx ∧dy =
³
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
´
dx ∧ dy ∧ dz.
10

С другой стороны, согласно формуле Стокса, он равен
              Z       Z                    Z ³
                                               ∂P    ∂Q ´
                dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy =           −      dx ∧ dy.
                                               ∂x    ∂y
               K          K                             K

Таким образом мы получили формулу Грина
                   I                  Z ³
                                          ∂P   ∂Q ´
                       (P dx + Qdy) =        −      dx ∧ dy.                           (14)
                     Γ                    ∂x   ∂y
                                              K

  II. Классическая формула Стокса.
  Рассмотрим линейную форму ω = P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz в R3 .
Рассмотрим 2-мерную поверхность M : r = r(u, v) и на ней компактную область
K , ограниченную гладкой замкнутой кривой Γ без самопересечений. Тогда вдоль
кривой         I      I
                                   dx           dy           dz
                   ω = (P (x, y, z) + Q(x, y, z) + R(x, y, z) )dt.
                 Γ      Γ          dt           dt           dt
Внешний дифференциал формы ω равен
                               ¡ ∂R ∂Q ¢         ¡ ∂P ∂R ¢       ¡ ∂Q ∂P ¢
dω = dP ∧dx+dQ∧dy+dR∧dz =           −    dy∧dz+      −    dz∧dx+      −     dx∧dy.
                                 ∂y ∂z             ∂z ∂x           ∂x ∂y
Таким образом, общая формула Стокса сводится к
                  I
                     P (x, y, z)dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz =
                      Γ
         ZZ
              ¡ ∂R ∂Q ¢           ¡ ∂P   ∂R ¢          ¡ ∂Q ∂P ¢
                   −    dy ∧ dz +      −     dz ∧ dx +      −    dx ∧ dy,              (15)
                ∂y   ∂z             ∂z   ∂x              ∂x   ∂y
          K
где первый интеграл вычисляется вдоль кривой Γ , а второй вдоль поверхности.
  В евклидовом пространстве E3 эту формулу можно записать в другом виде. В
прямоугольных координатах коэффициенты формы ω можно отождествить с ком-
понентами векторного поля a(P, Q, R) , а коэффициенты внешнего дифференциала
с компонентами ротации этого поля (лекция 24). Тогда формула Стокса принимает
вид                      I            ZZ
                                  (a, dr) =           (rot a, m)dσ,
                              Γ                   K
где интеграл слева называется циркуляцией векторного поля. Эта формула име-
ет следующую гидродинамическую интерпретацию: циркуляция векторного поля по
контуру, ограничивающему область ориентированной поверхности, равна потоку
ротации поля через эту область.
  Формула Грина является частным случаем этой формулы. Здесь векторное поле
имеет компоненты a(P, Q) , его ротация одну компоненту ∂Q
                                                       ∂x
                                                          − ∂P
                                                            ∂y
                                                               , а вектор нормали
равен m(0, 0, 1) .
  III. Формула Гаусса-Остроградского.
  Пусть Γ — замкнутая поверхность в R3 , ограничивающая область K и
                          ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy
— внешняя форма второй степени. Тогда
                                                              ³ ∂P   ∂Q ∂R ´
 dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧ dx ∧ dy =                 +    +    dx ∧ dy ∧ dz.
                                                                ∂x   ∂y   ∂z

Страницы