ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
8
Лекция 29. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ.
29.1. Многообразия с краем.
В дальнейшем нам понадобится понятие многообразия с краем. Рассмотрим типо-
вой пример. Пусть в R
m
задана гиперплоскость R
m−1
уравнением x
m
= 0 . Точки
x = (x
1
, . . . , x
m−1
, x
m
) , для которых x
m
≥ 0 задают полупространство R
m
+
, для
которого эта гиперплоскость является краем (границей).
Определение. Топологическое многообразие M называется гладким многообра-
зием с краем, если существует атлас карт (U
α
, ϕ
α
) с координатными гомеомор-
физмами ϕ
α
: U
α
→ ϕ
α
(U)
α
⊂ R
n
+
такой, что функции перехода f
αβ
= ϕ
β
◦ ϕ
−1
α
являются гладкими в R
n
+
.
Таким образом, в любой карте координата x
m
α
≥ 0 . Точки, для которых x
m
α
> 0
называются внутренними, а точки, для которых x
m
α
= 0 — граничными. Множество
граничных точек ∂M называется краем или границей многообразия M . В частно-
сти, если многообразие без края, то оно содержит только внутренние точки.
Следующие два утверждения мы примем без доказательства.
Теорема 4. Край ∂M есть гладкое подмногообразие размерности m − 1 .
Поясним лишь, что структура гладкого многообразия на ∂M определяется инду-
цированным атласом, образованным картами (
¯
U
α
, ¯ϕ
α
) , где
¯
U
α
= U
α
∩∂M , а отобра-
жения ¯ϕ
α
= ϕ
α
¯
¯
∂M
суть ограничения гомеоморфизмов ϕ
α
на край.
Теорема 5. Если многообразие с краем ориентируемо, то край ∂M является ори-
ентируемым многообразием.
При этом ориентация на ∂M , определяемая индуцированным атласом, называется
согласованной с ориентацией многообразия M .
Примеры.
1) Простейшим примером многообразия с краем является уже упомянутое выше
полупространство R
m
+
. Оно покрывается одной картой с координатами (x
1
, . . . , x
m
) ,
x
m
≥ 0 . Ориентацию этого пространства можно задать m -формой ω = e
1
∧···∧e
m
.
Базис пространства {e
i
} назовем правым, если значение m -формы на этом базисе
ω(e
1
, . . . , e
m
) > 0 и левым, если это значение отрицательно. Так как при преобразо-
вании базиса e
1
0
∧ ··· ∧ e
m
0
= detA e
1
∧ ··· ∧ e
m
, то при detA > 0 оно не изменяет
ориентацию пространства. Выберем правую ориентацию и пусть {a
1
, . . . , a
m−1
} —
базис границы R
m−1
. Дополним его до базиса пространства вектором нормали n ,
направленным в полупространство R
m
+
. Тогда ориентация границы будет согласова-
на с ориентацией полупространства, если ω(a
1
, . . . , a
m−1
, n) > 0 .
2) Рассмотрим круг B
2
⊂ E
2
, его граница — окружность S
1
. Ориентируем круг,
выбрав правый ортонормированный репер {i, j} в его центре. В точке окружности
репер задается одним вектором e , направленным по касательной. Если мы направим
вектор e против часовой стрелки, а нормальный вектор n внутрь окружности, то
получим ее ориентацию, согласованную с ориентацией круга.
29.2. Формула Стокса.
Теперь мы приведем формулу, обобщающую многие интегральные формулы мате-
матического анализа.
8 Лекция 29. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ. 29.1. Многообразия с краем. В дальнейшем нам понадобится понятие многообразия с краем. Рассмотрим типо- вой пример. Пусть в Rm задана гиперплоскость Rm−1 уравнением xm = 0 . Точки x = (x1 , . . . , xm−1 , xm ) , для которых xm ≥ 0 задают полупространство Rm+ , для которого эта гиперплоскость является краем (границей). Определение. Топологическое многообразие M называется гладким многообра- зием с краем, если существует атлас карт (Uα , ϕα ) с координатными гомеомор- физмами ϕα : Uα → ϕα (U )α ⊂ Rn+ такой, что функции перехода fαβ = ϕβ ◦ ϕ−1 α являются гладкими в Rn+ . Таким образом, в любой карте координата xm m α ≥ 0 . Точки, для которых xα > 0 m называются внутренними, а точки, для которых xα = 0 — граничными. Множество граничных точек ∂M называется краем или границей многообразия M . В частно- сти, если многообразие без края, то оно содержит только внутренние точки. Следующие два утверждения мы примем без доказательства. Теорема 4. Край ∂M есть гладкое подмногообразие размерности m − 1 . Поясним лишь, что структура гладкого многообразия на ∂M определяется инду- цированным атласом, ¯ образованным картами (Ūα , ϕ̄α ) , где Ūα = Uα ∩ ∂M , а отобра- ¯ жения ϕ̄α = ϕα ∂M суть ограничения гомеоморфизмов ϕα на край. Теорема 5. Если многообразие с краем ориентируемо, то край ∂M является ори- ентируемым многообразием. При этом ориентация на ∂M , определяемая индуцированным атласом, называется согласованной с ориентацией многообразия M . Примеры. 1) Простейшим примером многообразия с краем является уже упомянутое выше полупространство Rm 1 m + . Оно покрывается одной картой с координатами (x , . . . , x ) , x ≥ 0 . Ориентацию этого пространства можно задать m -формой ω = e ∧ · · · ∧ em . m 1 Базис пространства {ei } назовем правым, если значение m -формы на этом базисе ω(e1 , . . . , em ) > 0 и левым, если это значение отрицательно. Так как при преобразо- 0 0 вании базиса e1 ∧ · · · ∧ em = detA e1 ∧ · · · ∧ em , то при detA > 0 оно не изменяет ориентацию пространства. Выберем правую ориентацию и пусть {a1 , . . . , am−1 } — базис границы Rm−1 . Дополним его до базиса пространства вектором нормали n , направленным в полупространство Rm + . Тогда ориентация границы будет согласова- на с ориентацией полупространства, если ω(a1 , . . . , am−1 , n) > 0 . 2) Рассмотрим круг B 2 ⊂ E2 , его граница — окружность S 1 . Ориентируем круг, выбрав правый ортонормированный репер {i, j} в его центре. В точке окружности репер задается одним вектором e , направленным по касательной. Если мы направим вектор e против часовой стрелки, а нормальный вектор n внутрь окружности, то получим ее ориентацию, согласованную с ориентацией круга. 29.2. Формула Стокса. Теперь мы приведем формулу, обобщающую многие интегральные формулы мате- матического анализа.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- …
- следующая ›
- последняя »