Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 120 стр.

8

              Лекция 29. ФОРМУЛА СТОКСА И ЕЕ СЛЕДСТВИЯ.

    29.1. Многообразия с краем.

  В дальнейшем нам понадобится понятие многообразия с краем. Рассмотрим типо-
вой пример. Пусть в Rm задана гиперплоскость Rm−1 уравнением xm = 0 . Точки
x = (x1 , . . . , xm−1 , xm ) , для которых xm ≥ 0 задают полупространство Rm+ , для
которого эта гиперплоскость является краем (границей).
  Определение. Топологическое многообразие M называется гладким многообра-
зием с краем, если существует атлас карт (Uα , ϕα ) с координатными гомеомор-
физмами ϕα : Uα → ϕα (U )α ⊂ Rn+ такой, что функции перехода fαβ = ϕβ ◦ ϕ−1       α
являются гладкими в Rn+ .
Таким образом, в любой карте координата xm                                    m
                                                  α ≥ 0 . Точки, для которых xα > 0
                                                      m
называются внутренними, а точки, для которых xα = 0 — граничными. Множество
граничных точек ∂M называется краем или границей многообразия M . В частно-
сти, если многообразие без края, то оно содержит только внутренние точки.
  Следующие два утверждения мы примем без доказательства.
Теорема 4. Край ∂M есть гладкое подмногообразие размерности m − 1 .
  Поясним лишь, что структура гладкого многообразия на ∂M определяется инду-
цированным атласом,
              ¯     образованным картами (Ūα , ϕ̄α ) , где Ūα = Uα ∩ ∂M , а отобра-
              ¯
жения ϕ̄α = ϕα ∂M суть ограничения гомеоморфизмов ϕα на край.
Теорема 5. Если многообразие с краем ориентируемо, то край ∂M является ори-
ентируемым многообразием.
  При этом ориентация на ∂M , определяемая индуцированным атласом, называется
согласованной с ориентацией многообразия M .
  Примеры.
  1) Простейшим примером многообразия с краем является уже упомянутое выше
полупространство Rm                                                            1         m
                           + . Оно покрывается одной картой с координатами (x , . . . , x ) ,
x ≥ 0 . Ориентацию этого пространства можно задать m -формой ω = e ∧ · · · ∧ em .
 m                                                                           1

Базис пространства {ei } назовем правым, если значение m -формы на этом базисе
ω(e1 , . . . , em ) > 0 и левым, если это значение отрицательно. Так как при преобразо-
                      0          0
вании базиса e1 ∧ · · · ∧ em = detA e1 ∧ · · · ∧ em , то при detA > 0 оно не изменяет
ориентацию пространства. Выберем правую ориентацию и пусть {a1 , . . . , am−1 } —
базис границы Rm−1 . Дополним его до базиса пространства вектором нормали n ,
направленным в полупространство Rm         + . Тогда ориентация границы будет согласова-
на с ориентацией полупространства, если ω(a1 , . . . , am−1 , n) > 0 .
  2) Рассмотрим круг B 2 ⊂ E2 , его граница — окружность S 1 . Ориентируем круг,
выбрав правый ортонормированный репер {i, j} в его центре. В точке окружности
репер задается одним вектором e , направленным по касательной. Если мы направим
вектор e против часовой стрелки, а нормальный вектор n внутрь окружности, то
получим ее ориентацию, согласованную с ориентацией круга.

    29.2. Формула Стокса.

  Теперь мы приведем формулу, обобщающую многие интегральные формулы мате-
матического анализа.