Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 118 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

6
2) Пусть задана 2-форма ω = P dy ∧dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy в R
3
. Вычисляя ее
внешний дифференциал, получим
dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧ dx ∧dy = (∂
x
P + ∂
y
Q + ∂
z
R)dx ∧ dy ∧ dz,
т. е. форму третьей степени.
28.2. Интегрирование дифференциальных форм.
Пусть на компактном множестве D ⊂ R
m
с кусочно-гладкой границей задана
непрерывная функция f(x) = f(x
1
, . . . , x
m
) . Тогда, как известно, определен m -
кратный интеграл I =
R
D
f(x)dx
1
···dx
m
. Его знак зависит от выбора ориентации
пространства и при замене ориентации знак интеграла изменяется на противопо-
ложный.
Перейдем от одной системы координат к другой, т. е. сделаем замену перемен-
ных x
i
= x
i
(y
1
, . . . , y
m
) . Тогда, как известно, подинтегральное выражение изменится
следующим образом
Z
D
f(x)dx
1
···dx
m
=
Z
D
0
f(x(y))|J(y)|dy
1
···dy
m
,
где J(y) = det(
∂x
i
∂y
j
) — якобиан преобразования, а D
0
— область определения новых
координат. Эта формула показывает, что интегрируется на самом деле не функция,
а некоторый геометрический объект, значения которого зависят от выбора системы
координат. По сути дела, интегрируется внешняя m -форма
I =
Z
D
f(x)dx
1
∧ ···∧ dx
m
, где f(x) = ω
1...m
(x).
В самом деле, из тензорного закона преобразования следует, что
ω
1...m
(x) = J
i
0
1
1
···J
i
0
m
m
ω
i
0
1
...i
0
m
(x
0
) = J
−1
ω
1
0
...m
0
(x
0
).
Если, к тому же, учесть, что при преобразовании координат (см. лекцию 27, формулу
(6))
dx
1
∧ ···∧ dx
m
= Jdx
01
∧ ···∧ dx
0m
,
то мы видим, что подинтегральное выражение остается инвариантным.
Эти соображения подсказывают, как определить интеграл на гладком многообра-
зии. Пусть M — m -мерное гладкое ориентированное многообразие, на котором за-
дана внешняя форма ω степени m , определенная на компактном носителе K ⊂ M .
Рассмотрим на многообразии счетный или конечный атлас, покрывающий K . Рас-
смотрим далее разбиение этого носителя на попарно не пересекающиеся измеримые
множества {U
α
}, каждое из которых, во-первых, содержится в некоторой карте ат-
ласа с координатами (x
i
α
) и, во-вторых, пересекается с конечным числом других
карт. Эта конструкция, которую можно вполне строго обосновать, называется разби-
ением единицы, подчиненным заданному покрытию. На каждом U
α
форма ω имеет
вид ω
α
= f
α
dx
1
α
∧···∧dx
m
α
, где f
α
= ω
1...m
(x
α
) и имеет смысл рассмотреть интеграл
I
α
=
R
U
α
ω
α
. Теперь положим
Z
M
ω =
X
α
Z
U
α
ω
α
. (12)
6

  2) Пусть задана 2-форма ω = P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy в R3 . Вычисляя ее
внешний дифференциал, получим
    dω = dP ∧ dy ∧ dz + dQ ∧ dz ∧ dx + dR ∧ dx ∧ dy = (∂x P + ∂y Q + ∂z R)dx ∧ dy ∧ dz,
т. е. форму третьей степени.

    28.2. Интегрирование дифференциальных форм.

  Пусть на компактном множестве D ⊂ Rm с кусочно-гладкой границей задана
непрерывная функция fR(x) = f (x1 , . . . , xm ) . Тогда, как известно, определен m -
кратный интеграл I = f (x)dx1 · · · dxm . Его знак зависит от выбора ориентации
                                D
пространства и при замене ориентации знак интеграла изменяется на противопо-
ложный.
  Перейдем от одной системы координат к другой, т. е. сделаем замену перемен-
ных xi = xi (y 1 , . . . , y m ) . Тогда, как известно, подинтегральное выражение изменится
следующим образом
                          Z                       Z
                              f (x)dx · · · dx = f (x(y))|J(y)| dy 1 · · · dy m ,
                                      1       m

                        D                              D0
                  ∂xi
где J(y) = det( ∂yj ) — якобиан преобразования, а D0 — область определения новых
координат. Эта формула показывает, что интегрируется на самом деле не функция,
а некоторый геометрический объект, значения которого зависят от выбора системы
координат. По сути дела, интегрируется внешняя m -форма
                       Z
                  I = f (x)dx1 ∧ · · · ∧ dxm , где f (x) = ω1...m (x).
                            D

В самом деле, из тензорного закона преобразования следует, что
                                         i0     im 0
                        ω1...m (x) = J11 · · · Jm  ωi01 ...i0m (x0 ) = J −1 ω10 ...m0 (x0 ).
Если, к тому же, учесть, что при преобразовании координат (см. лекцию 27, формулу
(6))
                         dx1 ∧ · · · ∧ dxm = Jdx01 ∧ · · · ∧ dx0m ,
то мы видим, что подинтегральное выражение остается инвариантным.
  Эти соображения подсказывают, как определить интеграл на гладком многообра-
зии. Пусть M — m -мерное гладкое ориентированное многообразие, на котором за-
дана внешняя форма ω степени m , определенная на компактном носителе K ⊂ M .
Рассмотрим на многообразии счетный или конечный атлас, покрывающий K . Рас-
смотрим далее разбиение этого носителя на попарно не пересекающиеся измеримые
множества {Uα } , каждое из которых, во-первых, содержится в некоторой карте ат-
ласа с координатами (xiα ) и, во-вторых, пересекается с конечным числом других
карт. Эта конструкция, которую можно вполне строго обосновать, называется разби-
ением единицы, подчиненным заданному покрытию. На каждом Uα форма ω имеет
вид ωRα = fα dx1α ∧ · · · ∧ dxm
                              α , где fα = ω1...m (xα ) и имеет смысл рассмотреть интеграл
Iα = ωα . Теперь положим
     Uα
                                       Z        XZ
                                          ω=            ωα .                           (12)
                                              M             α   Uα

Страницы