Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

4
В частности, для внешних форм максимальной степени q = m
e
1
0
∧ ··· ∧ e
n
0
= detA e
1
∧ ··· ∧ e
n
, A = (A
i
0
i
). (6)
Аналогично рассматриваются косые произведения векторов a
1
∧ ··· ∧ a
p
и кон-
травариантные внешние формы ω(α
1
, . . . α
p
) . Для них имеет место координатная
запись, аналогичная (4)
ω =
X
∗
ω
i
1
...i
q
e
i
1
∧ ··· ∧ e
i
q
.
Наконец, понятие косого произведения может быть определено для форм любой сте-
пени. Пусть заданы p -форма θ и q -форма ω . Перемножив их, получим тензор θ⊗ω
валентности p + q , значение которого на аргументах равно
θ ⊗ ω(a
1
, . . . a
p
, b
1
, . . . b
q
) = θ(a
1
, . . . a
p
)ω(b
1
, . . . b
q
).
Он кососимметричен как по первой, так и по второй группе аргументов, но в це-
лом кососимметричным тензором не является. Поэтому, чтобы получить внешнюю
форму, его надо проальтернировать с соответствующим множителем (см. (2)). В ре-
зультате получим (p + q) -форму
θ ∧ ω(a
1
, . . . a
p
, b
1
, . . . b
q
) =
(p + q)!
p! q!
Alt(θ(a
1
, . . . a
p
)ω(b
1
, . . . b
q
)). (7)
4

В частности, для внешних форм максимальной степени q = m
                          0              0                                              0
                        e1 ∧ · · · ∧ en = detA e1 ∧ · · · ∧ en ,            A = (Aii ).             (6)
  Аналогично рассматриваются косые произведения векторов a1 ∧ · · · ∧ ap и кон-
травариантные внешние формы ω(α1 , . . . αp ) . Для них имеет место координатная
запись, аналогичная (4)      X
                         ω=     ω i1 ...iq ei1 ∧ · · · ∧ eiq .
                                             ∗
Наконец, понятие косого произведения может быть определено для форм любой сте-
пени. Пусть заданы p -форма θ и q -форма ω . Перемножив их, получим тензор θ⊗ω
валентности p + q , значение которого на аргументах равно
                    θ ⊗ ω(a1 , . . . ap , b1 , . . . bq ) = θ(a1 , . . . ap )ω(b1 , . . . bq ).
Он кососимметричен как по первой, так и по второй группе аргументов, но в це-
лом кососимметричным тензором не является. Поэтому, чтобы получить внешнюю
форму, его надо проальтернировать с соответствующим множителем (см. (2)). В ре-
зультате получим (p + q) -форму
                                                   (p + q)!
           θ ∧ ω(a1 , . . . ap , b1 , . . . bq ) =          Alt(θ(a1 , . . . ap )ω(b1 , . . . bq )). (7)
                                                     p! q!

Страницы