Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 117 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

5
Лекция 28. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИЯХ.
28.1. Внешний дифференциал и его свойства
В дальнейшем мы будем рассматривать внешние формы на многообразии. Так как
в этом случае натуральный корепер в каждой точке x ∈ M образован линейными
формами {dx
i
}, то их координатная запись имеет вид
ω =
X
∗
ω
i
1
...i
q
(x)dx
i
1
∧ ··· ∧ dx
i
q
. (8)
Линейные операции с тензорными полями, а также умножение на функции имеют
место и для внешних форм. Поэтому внешние q -формы на многообразии образуют
подмодуль Λ
q
M в модуле T
0
q
M всех тензорных полей той же валентности. В их
число целесообразно включить также скалярные поля как формы нулевой степени
и линейные формы. Более того, множество всех внешних форм на многообразии
относительно операции косого произведения образуют (бесконечномерную) алгебру.
Кроме алгебраических операций на множестве внешних форм можно ввести также
операцию дифференцирования.
Определение. Внешним дифференциалом называется дифференциальный опера-
тор d , который всякой внешней q -форме ω ставит в соответствие внешнюю
форму dω степени q + 1 и обладает следующими свойствами:
1) Внешний дифференциал функции dF совпадает с обычным дифференциалом;
2) Для внеших форм одинаковой степени d(ω
1
+ ω
2
) = dω
1
+ dω
2
;
3) Если ω
1
— p -форма, то d(ω
1
∧ ω
2
) = dω
1
∧ ω
2
+ (−1)
p
ω
1
∧ dω
2
;
4) d(dω) = 0.
Пусть, в частности, ω
1
= F (x) — функция ( p = 0 ). Тогда из первого и третьего
свойств получим
d(F ω) = dF ∧ ω + F dω. (9)
Выбрав на многообразии некоторую координатную окрестность, запишем этот опе-
ратор в координатах. Рассмотрим сначала скалярное поле F (x) . Тогда dF = ∂
i
F dx
i
.
Это линейная дифференциальная форма — градиент функции F . Пусть далее ω =
ω
i
dx
i
— линейная форма. В соответствии с формулой (9) dω = dω
i
∧ dx
i
+ ω
i
d(dx
i
) ,
а так как d(dx
i
) = 0 , то
dω = dω
i
∧ dx
i
. (10)
Это 2-форма — сумма косых произведений двух линейных форм.
Рассмотрим теперь внешнюю форму произвольной степени. Из (8), учитывая, что
d(dx
i
1
∧ ··· ∧ dx
i
q
) = 0 , получим
dω =
X
∗
dω
i
1
...i
q
(x) ∧ dx
i
1
∧ ··· ∧ dx
i
q
. (11)
Это внешняя форма (q + 1) -й степени.
Примеры.
1) Рассмотрим линейную форму на плоскости R
2
ω = P (x, y)dx+Q(x, y)dy . Тогда
dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy = (∂
x
P dx + ∂
y
P dy) ∧ dx + (∂
x
Qdx + ∂
y
Qdy) ∧ dy.
Учитывая, что dx ∧dx = 0 , dy ∧ dy = 0 и dy ∧ dx = −dx ∧dy , получим
dω = (∂
x
Q − ∂
y
P )dx ∧ dy.
                                                                                   5

           Лекция 28. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА МНОГООБРАЗИЯХ.

  28.1. Внешний дифференциал и его свойства

  В дальнейшем мы будем рассматривать внешние формы на многообразии. Так как
в этом случае натуральный корепер в каждой точке x ∈ M образован линейными
формами {dxi } , то их координатная запись имеет вид
                             X
                          ω=     ωi1 ...iq (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq .       (8)
                                  ∗

Линейные операции с тензорными полями, а также умножение на функции имеют
место и для внешних форм. Поэтому внешние q -формы на многообразии образуют
подмодуль Λq M в модуле Tq0 M всех тензорных полей той же валентности. В их
число целесообразно включить также скалярные поля как формы нулевой степени
и линейные формы. Более того, множество всех внешних форм на многообразии
относительно операции косого произведения образуют (бесконечномерную) алгебру.
  Кроме алгебраических операций на множестве внешних форм можно ввести также
операцию дифференцирования.
  Определение. Внешним дифференциалом называется дифференциальный опера-
тор d , который всякой внешней q -форме ω ставит в соответствие внешнюю
форму dω степени q + 1 и обладает следующими свойствами:
  1) Внешний дифференциал функции dF совпадает с обычным дифференциалом;
  2) Для внеших форм одинаковой степени d(ω 1 + ω 2 ) = dω 1 + dω 2 ;
  3) Если ω 1 — p -форма, то d(ω 1 ∧ ω 2 ) = dω 1 ∧ ω 2 + (−1)p ω 1 ∧ dω 2 ;
  4) d(dω) = 0.
Пусть, в частности, ω 1 = F (x) — функция ( p = 0 ). Тогда из первого и третьего
свойств получим
                              d(F ω) = dF ∧ ω + F dω.                        (9)
   Выбрав на многообразии некоторую координатную окрестность, запишем этот опе-
ратор в координатах. Рассмотрим сначала скалярное поле F (x) . Тогда dF = ∂i F dxi .
Это линейная дифференциальная форма — градиент функции F . Пусть далее ω =
ωi dxi — линейная форма. В соответствии с формулой (9) dω = dωi ∧ dxi + ωi d(dxi ) ,
а так как d(dxi ) = 0 , то
                                 dω = dωi ∧ dxi .                              (10)
Это 2-форма — сумма косых произведений двух линейных форм.
  Рассмотрим теперь внешнюю форму произвольной степени. Из (8), учитывая, что
d(dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq ) = 0 , получим
                                   X
                              dω =    dωi1 ...iq (x) ∧ dxi1 ∧ · · · ∧ dxiq . (11)
                              ∗

Это внешняя форма (q + 1) -й степени.
  Примеры.
  1) Рассмотрим линейную форму на плоскости R2 ω = P (x, y)dx+Q(x, y)dy . Тогда
     dω = dP ∧ dx + dQ ∧ dy = (∂x P dx + ∂y P dy) ∧ dx + (∂x Qdx + ∂y Qdy) ∧ dy.
Учитывая, что dx ∧ dx = 0 , dy ∧ dy = 0 и dy ∧ dx = −dx ∧ dy , получим
                             dω = (∂x Q − ∂y P )dx ∧ dy.

Страницы