Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 119 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

7
В каждой точке это конечная сумма. Оказывается, что этот интеграл не зависит ни
от выбора исходного атласа карт, ни от выбора разбиения.
Пример. Примером внешней m -формы в римановом пространстве является дис-
криминантный тензор ε =
p
g(x) dx
1
∧ ··· ∧ dx
m
, где g = det(g
ij
) . Результат ин-
тегрирования этого тензора по ограниченной области Q в предположении, что она
покрывается одной картой, есть объем этой области (см. лекцию 24)
V (Q) =
Z
Q
p
g(x) dx
1
∧ ··· ∧ dx
m
.
В общем случае применяют технику разбиения единицы.
Аналогичным образом определяется интеграл на n -мерном подмногообразии N ⊂
M . Пусть в некоторой карте оно задано уравнениями x
i
= F
i
(u
1
, . . . , u
n
) , n < m .
Теорема 3. Пусть ω =
P
∗
ω
i
1
...i
n
(x)dx
i
1
∧ ··· ∧ dx
i
n
— внешняя n -форма на много-
образии M и ω
|N
— ее ограничение на подмногообразие. Тогда на этом подмного-
образии индуцируется внешняя n -форма
θ = g(u) du
1
∧ ··· ∧ du
n
, где g(u) =
X
∗
J
i
1
...i
n
ω
i
1
...i
n
(x(u)).
Д о к а з а т е л ь с т в о. В выражение для формы ω надо подставить функции,
определяющие вложение. Так как dx
i
1
= J
i
1
a
1
du
a
1
, . . . , dx
i
n
= J
i
n
a
n
du
a
n
, где J
i
a
=
∂F
i
∂u
a
— элементы якобиевой матрицы, то имеем
dx
i
1
∧ ··· ∧ dx
i
n
= J
i
1
a
1
···J
i
n
a
n
du
a
1
∧ ··· ∧ du
a
n
.
Здесь суммирование по индексам a
1
, . . . , a
n
идет независимо друг от друга. Сделаем
перестановку сомножителей косых произведений, учитывая их кососимметричность,
расположив их в порядке возрастания индексов. Подведя подобные члены, получим
dx
i
1
∧ ··· ∧ dx
i
n
= n!J
i
1
[1
···J
i
n
n]
du
1
∧ ··· ∧ du
n
= J
i
1
...i
n
du
1
∧ ··· ∧ du
n
,
где J
i
1
...i
n
(u) — миноры n -го порядка якобиевой матрицы (J
i
a
) , образованные стро-
ками с номерами i
1
< ··· < i
n
. В итоге имеем g(u) =
P
∗
J
i
1
...i
n
ω
i
1
...i
n
. ¤
                                                                                                      7

В каждой точке это конечная сумма. Оказывается, что этот интеграл не зависит ни
от выбора исходного атласа карт, ни от выбора разбиения.
  Пример. Примером внешней p m -формы в римановом пространстве является дис-
криминантный тензор ε = g(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxm , где g = det(gij ) . Результат ин-
тегрирования этого тензора по ограниченной области Q в предположении, что она
покрывается одной картой, есть объем этой области (см. лекцию 24)
                                 Z p
                        V (Q) =      g(x) dx1 ∧ · · · ∧ dxm .
                                           Q

В общем случае применяют технику разбиения единицы.
  Аналогичным образом определяется интеграл на n -мерном подмногообразии N ⊂
M . Пусть в некоторой карте оно задано уравнениями xi = F i (u1 , . . . , un ) , n < m .
                       P
Теорема 3. Пусть ω =      ωi1 ...in (x)dxi1 ∧ · · · ∧ dxin — внешняя n -форма на много-
                               ∗
образии M и ω|N — ее ограничение на подмногообразие. Тогда на этом подмного-
образии индуцируется внешняя n -форма
                                                   X
           θ = g(u) du1 ∧ · · · ∧ dun , где g(u) =   J i1 ...in ωi1 ...in (x(u)).
                                                                   ∗

  Д о к а з а т е л ь с т в о. В выражение для формы ω надо подставить функции,
                                                                                            i
определяющие вложение. Так как dxi1 = Jai11 dua1 , . . . , dxin = Jainn duan , где Jai = ∂F
                                                                                         ∂ua
— элементы якобиевой матрицы, то имеем
                        dxi1 ∧ · · · ∧ dxin = Jai11 · · · Jainn dua1 ∧ · · · ∧ duan .
Здесь суммирование по индексам a1 , . . . , an идет независимо друг от друга. Сделаем
перестановку сомножителей косых произведений, учитывая их кососимметричность,
расположив их в порядке возрастания индексов. Подведя подобные члены, получим
         dxi1 ∧ · · · ∧ dxin = n!J[1i1 · · · Jn]
                                              in
                                                 du1 ∧ · · · ∧ dun = J i1 ...in du1 ∧ · · · ∧ dun ,
где J i1 ...in (u) — миноры n -го порядка якобиевой матрицы
                                                        P i1(J
                                                                i
                                                                a ) , образованные стро-
ками с номерами i1 < · · · < in . В итоге имеем g(u) =    J ...in ωi1 ...in . ¤
                                                                       ∗

Страницы