ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9
Теорема 6. (Стокса) Пусть M — m -мерное ориентированное многообразий с кра-
ем ∂M , ориентация которого согласована с ориентацией многообразия, ω — внеш-
няя дифференциальная форма степени n − 1 с компактным носителем. Тогда
Z
M
dω = (−1)
m
Z
∂M
ω. (13)
Н а б р о с о к д о к а з а т е л ь с т в а. Во-первых, имея ввиду формулу (5) лекции
28, теорему достаточно доказать лишь в случае, когда компактный носитель фор-
мы принадлежит одной карте (U, ϕ) . Тогда в координатном представлении получим
форму в R
m
+
с краем R
m−1
. Во-вторых, так как ω есть линейная комбинация косых
произведений, то в силу аддитивности интеграла достаточно рассмотреть случай,
когда эта форма имеет одночленный вид
ω = F (x
1
, . . . , x
m
)dx
1
∧ ··· ∧ dx
k−1
∧ dx
k+1
∧ ··· ∧ dx
m
.
Тогда dω = (−1)
k−1
∂F
∂x
k
dx
1
∧···∧dx
m
и далее следует рассмотреть два случая: k < m
и k = m . В первом случае, поскольку dx
m
= 0 , ограничение формы ω на край
R
m−1
равно нулю. Поэтому имеем
R
R
m−1
ω = 0 . После несложных вычислений тот же
результат получается и слева:
R
R
+
dω = 0. В случае, когда k = m , форма имеет вид
ω = F (x
1
, . . . , x
m
)dx
1
∧ ··· ∧ dx
m−1
. Тогда интеграл по границе равен
Z
R
m−1
ω =
Z
R
m−1
F (x
1
, . . . , x
m−1
, 0) dx
1
∧ ··· ∧ dx
m−1
.
С другой стороны, дифференцируя форму ω , получим
dω = (−1)
m−1
∂F (x)
∂x
m
dx
1
∧ ··· ∧ dx
m−1
∧ dx
m
.
Тогда, выделяя интегрирование по переменной m , имеем
Z
R
+
dω = (−1)
m−1
Z
R
m−1
dx
1
∧ ··· ∧ dx
m−1
Z
∞
0
∂F (x)
∂x
m
dx
m
=
(−1)
m−1
Z
R
m−1
dx
1
∧···∧dx
m−1
F (x)|
x
m
=∞
x
m
=0
= (−1)
m
Z
R
m−1
F (x
1
, . . . , x
m−1
, 0) dx
1
∧···∧dx
m−1
,
что доказывает теорему.
29.3. Следствия формулы Стокса.
I. Формула Грина.
Рассмотрим в плоскости R
2
область K , ограниченную гладкой замкнутой кривой
Γ : x = x(t), y = y(t) без самопересечений. Ориентацию границы согласуем с правой
ориентацией плоскости, считая, что при возрастании параметра t обход контура
совершается против часовой стрелки, в то время как нормаль направлена внутрь
области. Пусть ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy — линейная форма в R
2
. Интеграл этой
формы вдоль границы равен
Z
Γ
ω =
I
Γ
³
P (x(t), y(t))
dx
dt
+ Q(x(t), y(t)
dy
dt
´
dt.
9 Теорема 6. (Стокса) Пусть M — m -мерное ориентированное многообразий с кра- ем ∂M , ориентация которого согласована с ориентацией многообразия, ω — внеш- няя дифференциальная форма степени n − 1 с компактным носителем. Тогда Z Z m dω = (−1) ω. (13) M ∂M Н а б р о с о к д о к а з а т е л ь с т в а. Во-первых, имея ввиду формулу (5) лекции 28, теорему достаточно доказать лишь в случае, когда компактный носитель фор- мы принадлежит одной карте (U, ϕ) . Тогда в координатном представлении получим форму в Rm + с краем R m−1 . Во-вторых, так как ω есть линейная комбинация косых произведений, то в силу аддитивности интеграла достаточно рассмотреть случай, когда эта форма имеет одночленный вид ω = F (x1 , . . . , xm )dx1 ∧ · · · ∧ dxk−1 ∧ dxk+1 ∧ · · · ∧ dxm . ∂F Тогда dω = (−1)k−1 ∂x 1 k dx ∧· · ·∧ dx m и далее следует рассмотреть два случая: k < m и k = m . В первом случае, поскольку R dxm = 0 , ограничение формы ω на край m−1 R равно нулю. Поэтому имеем ω = 0 . После несложных вычислений тот же R Rm−1 результат получается и слева: dω = 0. В случае, когда k = m , форма имеет вид R+ ω = F (x1 , . . . , xm )dx1 ∧ · · · ∧ dxm−1 . Тогда интеграл по границе равен Z Z ω= F (x1 , . . . , xm−1 , 0) dx1 ∧ · · · ∧ dxm−1 . Rm−1 Rm−1 С другой стороны, дифференцируя форму ω , получим ∂F (x) 1 dω = (−1)m−1 dx ∧ · · · ∧ dxm−1 ∧ dxm . ∂xm Тогда, выделяя интегрирование по переменной m , имеем Z Z Z ∞ m−1 1 m−1 ∂F (x) m dω = (−1) dx ∧ · · · ∧ dx dx = 0 ∂xm R+ Rm−1 Z Z m−1 1 m−1 m (−1) dx ∧· · ·∧dx F (x)|xxm =∞ =0 m = (−1) F (x1 , . . . , xm−1 , 0) dx1 ∧· · ·∧dxm−1 , Rm−1 Rm−1 что доказывает теорему. 29.3. Следствия формулы Стокса. I. Формула Грина. Рассмотрим в плоскости R2 область K , ограниченную гладкой замкнутой кривой Γ : x = x(t), y = y(t) без самопересечений. Ориентацию границы согласуем с правой ориентацией плоскости, считая, что при возрастании параметра t обход контура совершается против часовой стрелки, в то время как нормаль направлена внутрь области. Пусть ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy — линейная форма в R2 . Интеграл этой формы вдоль границы равен Z I ³ dx dy ´ ω= P (x(t), y(t)) + Q(x(t), y(t) dt. Γ Γ dt dt
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 119
- 120
- 121
- 122
- 123
- …
- следующая ›
- последняя »