Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

9
Теорема 6. (Стокса) Пусть M — m -мерное ориентированное многообразий с кра-
ем ∂M , ориентация которого согласована с ориентацией многообразия, ω — внеш-
няя дифференциальная форма степени n − 1 с компактным носителем. Тогда
Z
M
dω = (−1)
m
Z
∂M
ω. (13)
Н а б р о с о к д о к а з а т е л ь с т в а. Во-первых, имея ввиду формулу (5) лекции
28, теорему достаточно доказать лишь в случае, когда компактный носитель фор-
мы принадлежит одной карте (U, ϕ) . Тогда в координатном представлении получим
форму в R
m
+
с краем R
m−1
. Во-вторых, так как ω есть линейная комбинация косых
произведений, то в силу аддитивности интеграла достаточно рассмотреть случай,
когда эта форма имеет одночленный вид
ω = F (x
1
, . . . , x
m
)dx
1
∧ ··· ∧ dx
k−1
∧ dx
k+1
∧ ··· ∧ dx
m
.
Тогда dω = (−1)
k−1
∂F
∂x
k
dx
1
∧···∧dx
m
и далее следует рассмотреть два случая: k < m
и k = m . В первом случае, поскольку dx
m
= 0 , ограничение формы ω на край
R
m−1
равно нулю. Поэтому имеем
R
R
m−1
ω = 0 . После несложных вычислений тот же
результат получается и слева:
R
R
+
dω = 0. В случае, когда k = m , форма имеет вид
ω = F (x
1
, . . . , x
m
)dx
1
∧ ··· ∧ dx
m−1
. Тогда интеграл по границе равен
Z
R
m−1
ω =
Z
R
m−1
F (x
1
, . . . , x
m−1
, 0) dx
1
∧ ··· ∧ dx
m−1
.
С другой стороны, дифференцируя форму ω , получим
dω = (−1)
m−1
∂F (x)
∂x
m
dx
1
∧ ··· ∧ dx
m−1
∧ dx
m
.
Тогда, выделяя интегрирование по переменной m , имеем
Z
R
+
dω = (−1)
m−1
Z
R
m−1
dx
1
∧ ··· ∧ dx
m−1
Z
∞
0
∂F (x)
∂x
m
dx
m
=
(−1)
m−1
Z
R
m−1
dx
1
∧···∧dx
m−1
F (x)|
x
m
=∞
x
m
=0
= (−1)
m
Z
R
m−1
F (x
1
, . . . , x
m−1
, 0) dx
1
∧···∧dx
m−1
,
что доказывает теорему.
29.3. Следствия формулы Стокса.
I. Формула Грина.
Рассмотрим в плоскости R
2
область K , ограниченную гладкой замкнутой кривой
Γ : x = x(t), y = y(t) без самопересечений. Ориентацию границы согласуем с правой
ориентацией плоскости, считая, что при возрастании параметра t обход контура
совершается против часовой стрелки, в то время как нормаль направлена внутрь
области. Пусть ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy — линейная форма в R
2
. Интеграл этой
формы вдоль границы равен
Z
Γ
ω =
I
Γ
³
P (x(t), y(t))
dx
dt
+ Q(x(t), y(t)
dy
dt
´
dt.
                                                                                                               9

Теорема 6. (Стокса) Пусть M — m -мерное ориентированное многообразий с кра-
ем ∂M , ориентация которого согласована с ориентацией многообразия, ω — внеш-
няя дифференциальная форма степени n − 1 с компактным носителем. Тогда
                             Z              Z
                                          m
                                dω = (−1)     ω.                          (13)
                                           M                  ∂M

  Н а б р о с о к д о к а з а т е л ь с т в а. Во-первых, имея ввиду формулу (5) лекции
28, теорему достаточно доказать лишь в случае, когда компактный носитель фор-
мы принадлежит одной карте (U, ϕ) . Тогда в координатном представлении получим
форму в Rm + с краем R
                         m−1
                              . Во-вторых, так как ω есть линейная комбинация косых
произведений, то в силу аддитивности интеграла достаточно рассмотреть случай,
когда эта форма имеет одночленный вид
                   ω = F (x1 , . . . , xm )dx1 ∧ · · · ∧ dxk−1 ∧ dxk+1 ∧ · · · ∧ dxm .
                   ∂F
Тогда dω = (−1)k−1 ∂x     1
                      k dx ∧· · ·∧ dx
                                      m
                                         и далее следует рассмотреть два случая: k < m
и k = m . В первом случае, поскольку    R     dxm = 0 , ограничение формы ω на край
 m−1
R     равно нулю. Поэтому имеем             ω = 0 . После несложных вычислений тот же
                                  R   Rm−1

результат получается и слева:       dω = 0. В случае, когда k = m , форма имеет вид
                                          R+
ω = F (x1 , . . . , xm )dx1 ∧ · · · ∧ dxm−1 . Тогда интеграл по границе равен
                         Z           Z
                             ω=          F (x1 , . . . , xm−1 , 0) dx1 ∧ · · · ∧ dxm−1 .
                       Rm−1       Rm−1

С другой стороны, дифференцируя форму ω , получим
                                ∂F (x) 1
                         dω = (−1)m−1 dx ∧ · · · ∧ dxm−1 ∧ dxm .
                                 ∂xm
Тогда, выделяя интегрирование по переменной m , имеем
             Z                Z                       Z ∞
                          m−1       1             m−1     ∂F (x) m
                dω = (−1)         dx ∧ · · · ∧ dx               dx =
                                                       0   ∂xm
                  R+                     Rm−1
           Z                                                   Z
     m−1           1            m−1           m
(−1)             dx ∧· · ·∧dx         F (x)|xxm =∞
                                                =0
                                                          m
                                                     = (−1)          F (x1 , . . . , xm−1 , 0) dx1 ∧· · ·∧dxm−1 ,
          Rm−1                                                Rm−1
что доказывает теорему.

  29.3. Следствия формулы Стокса.

  I. Формула Грина.
  Рассмотрим в плоскости R2 область K , ограниченную гладкой замкнутой кривой
Γ : x = x(t), y = y(t) без самопересечений. Ориентацию границы согласуем с правой
ориентацией плоскости, считая, что при возрастании параметра t обход контура
совершается против часовой стрелки, в то время как нормаль направлена внутрь
области. Пусть ω = P (x, y)dx + Q(x, y)dy — линейная форма в R2 . Интеграл этой
формы вдоль границы равен
                     Z       I ³
                                              dx              dy ´
                         ω=     P (x(t), y(t)) + Q(x(t), y(t)      dt.
                       Γ      Γ               dt              dt

Страницы