Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

11
В итоге формула Стокса сводится к формуле Гаусса-Остроградского
Z
Γ
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = −
Z
K
³
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
´
dx ∧ dy ∧ dz. (16)
Следует иметь ввиду, что в классической формуле Гаусса-Остроградского ориента-
ция области K противоположная: она задается правым репером касательной плоско-
сти и вектором нормали, направленным во внешнюю область. При такой ориентации
знак минус в формуле (16) следует заменить на плюс.
В 3-мерном евклидовом пространстве в прямоугольных координатах эта формула
может быть записана в виде
ZZ
Γ
(a, m)dσ =
ZZZ
K
Diva dV
и имеет простую гидродинамическую интерпретацию: поток векторного поля через
замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции поля по области, ограни-
ченной этой поверхностью.
Пример. Подсчитаем поток векторного поля r = (x, y, z) радиусов-векторов через
полную поверхность кругового цилиндра радиуса R и высоты h . Согласно формуле
Гаусса-Остроградского, этот поток равен интегральной дивергенции этого поля по
области, ограниченной цилиндром. Но дивергенция заданного поля равна r = 3 .
Получим Q = 3
RRR
K
dV = 3πR
2
h , ибо объем цилиндра πR
2
h .
                                                                              11

В итоге формула Стокса сводится к формуле Гаусса-Остроградского
   Z                                      Z ³
                                              ∂P   ∂Q ∂R ´
      P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = −        +    +    dx ∧ dy ∧ dz.    (16)
                                              ∂x   ∂y   ∂z
   Γ                                    K
Следует иметь ввиду, что в классической формуле Гаусса-Остроградского ориента-
ция области K противоположная: она задается правым репером касательной плоско-
сти и вектором нормали, направленным во внешнюю область. При такой ориентации
знак минус в формуле (16) следует заменить на плюс.
  В 3-мерном евклидовом пространстве в прямоугольных координатах эта формула
может быть записана в виде
                          ZZ             ZZZ
                              (a, m)dσ =      Diva dV
                            Γ               K
и имеет простую гидродинамическую интерпретацию: поток векторного поля через
замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции поля по области, ограни-
ченной этой поверхностью.
  Пример. Подсчитаем поток векторного поля r = (x, y, z) радиусов-векторов через
полную поверхность кругового цилиндра радиуса R и высоты h . Согласно формуле
Гаусса-Остроградского, этот поток равен интегральной дивергенции этого поля по
области, ограниченной
               RRR      цилиндром. Но дивергенция заданного поля равна r = 3 .
Получим Q = 3      K
                     dV  = 3πR2 h , ибо объем цилиндра πR2 h .

Страницы