ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11
В итоге формула Стокса сводится к формуле Гаусса-Остроградского
Z
Γ
P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = −
Z
K
³
∂P
∂x
+
∂Q
∂y
+
∂R
∂z
´
dx ∧ dy ∧ dz. (16)
Следует иметь ввиду, что в классической формуле Гаусса-Остроградского ориента-
ция области K противоположная: она задается правым репером касательной плоско-
сти и вектором нормали, направленным во внешнюю область. При такой ориентации
знак минус в формуле (16) следует заменить на плюс.
В 3-мерном евклидовом пространстве в прямоугольных координатах эта формула
может быть записана в виде
ZZ
Γ
(a, m)dσ =
ZZZ
K
Diva dV
и имеет простую гидродинамическую интерпретацию: поток векторного поля через
замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции поля по области, ограни-
ченной этой поверхностью.
Пример. Подсчитаем поток векторного поля r = (x, y, z) радиусов-векторов через
полную поверхность кругового цилиндра радиуса R и высоты h . Согласно формуле
Гаусса-Остроградского, этот поток равен интегральной дивергенции этого поля по
области, ограниченной цилиндром. Но дивергенция заданного поля равна r = 3 .
Получим Q = 3
RRR
K
dV = 3πR
2
h , ибо объем цилиндра πR
2
h .
11 В итоге формула Стокса сводится к формуле Гаусса-Остроградского Z Z ³ ∂P ∂Q ∂R ´ P dy ∧ dz + Qdz ∧ dx + Rdx ∧ dy = − + + dx ∧ dy ∧ dz. (16) ∂x ∂y ∂z Γ K Следует иметь ввиду, что в классической формуле Гаусса-Остроградского ориента- ция области K противоположная: она задается правым репером касательной плоско- сти и вектором нормали, направленным во внешнюю область. При такой ориентации знак минус в формуле (16) следует заменить на плюс. В 3-мерном евклидовом пространстве в прямоугольных координатах эта формула может быть записана в виде ZZ ZZZ (a, m)dσ = Diva dV Γ K и имеет простую гидродинамическую интерпретацию: поток векторного поля через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции поля по области, ограни- ченной этой поверхностью. Пример. Подсчитаем поток векторного поля r = (x, y, z) радиусов-векторов через полную поверхность кругового цилиндра радиуса R и высоты h . Согласно формуле Гаусса-Остроградского, этот поток равен интегральной дивергенции этого поля по области, ограниченной RRR цилиндром. Но дивергенция заданного поля равна r = 3 . Получим Q = 3 K dV = 3πR2 h , ибо объем цилиндра πR2 h .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 121
- 122
- 123
- 124
- 125
- …
- следующая ›
- последняя »