Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 115 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3
Теорема 1. Всякий кососимметричный тензор валентности q может быть раз-
ложен в линейную комбинацию косых произведений q базисных линейных форм.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим координатное выражение этого тензора
ω(a
1
, . . . , a
q
) = ω
i
1
...i
q
a
i
1
1
. . . a
i
q
q
.
Напомним, что координаты всякого вектора есть значения сопряженного базиса на
этом векторе: a
i
= e
i
(a) . Поэтому это выражение можно записать в виде
ω(a
1
, . . . , a
q
) = ω
i
1
...i
q
e
i
1
(a
1
) . . . e
i
q
(a
q
) .
Учитывая кососимметричность тензора и сделанное выше замечание по поводу идем-
потентности оператора альтернирования, эту формулу можно записать также в виде
ω(a
1
, . . . , a
q
) = ω
[i
1
...i
q
]
e
i
1
(a
1
) . . . e
i
q
(a
q
) = ω
i
1
...i
q
e
[i
1
(a
1
) . . . e
i
q
]
(a
q
) ,
откуда в силу формулы (2) получим
ω =
1
q !
ω
i
1
...i
q
e
i
1
∧ ··· ∧ e
i
q
. (3)
Таким образом, указанное разложение найдено. ¤
Эту формулу записывают также в несколько другом виде, производя суммиро-
вание только по возрастающим последовательностям индексов i
1
< i
2
< ··· < i
q
(суммирование по сочетаниям). Обозначая такое суммирование символом
P
∗
и учи-
тывая подобные члены, получим
ω =
X
∗
ω
i
1
...i
q
e
i
1
∧ ··· ∧ e
i
q
. (4)
Число слагаемых в этой сумме равно C
q
m
.
Теорема 2. Косые произведения e
i
1
∧ ··· ∧ e
i
q
, i
1
< i
2
< ··· < i
q
образуют базис
в пространстве Λ
q
кососимметричных q -тензоров.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Ограничимся для простоты случаем q = 2 . То-
гда для всякого кососимметричного тензора второй валентности в силу (4) имеем
ω =
P
∗
ω
ij
e
i
∧ e
j
. Поэтому достаточно доказать, что косые произведения e
i
∧ e
j
,
i < j линейно независимы. Предположим, что
P
∗
λ
ij
e
i
∧ e
j
= 0 , т. е. для любой
пары векторов
P
∗
λ
ij
(e
i
(a)e
j
(b) − e
i
(b)e
j
(a)) = 0 . Выбирая здесь a = e
k
, b = e
s
,
получим
P
∗
λ
ij
(δ
i
k
δ
j
s
− δ
i
s
δ
j
k
) = λ
ks
− λ
sk
= 2λ
ks
= 0 . ¤
Кососимметричный тензор, записанный в виде (3), называют внешней формой сте-
пени q .
Посмотрим, как преобразуется базис e
i
1
∧···∧e
i
q
пространства Λ
q
, если изменя-
ется базис пространства V e
i
0
= A
i
i
0
e
i
и автоматически сопряженный ему кобазис
e
i
0
= A
i
0
i
e
i
. Вследствие линейности косого произведения по своим сомножителям
e
i
0
1
∧ ··· ∧ e
i
0
q
= A
i
0
1
i
1
e
i
1
∧ ··· ∧ A
i
0
q
i
q
e
i
q
= q!A
[i
0
1
i
1
. . . A
i
0
q
]
i
q
e
i
1
∧ ··· ∧ e
i
q
.
Здесь
A
i
0
1
...i
0
q
i
1
...i
q
= q!A
[i
0
1
i
1
. . . A
i
0
q
]
i
q
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
A
i
0
1
i
1
. . . A
i
0
1
iq
. . . . . . . . .
A
i
0
q
i
1
. . . A
i
0
q
i
q
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
, i
1
< ··· < i
q
есть миноры q -го порядка матрицы преобразования A . В результате получим
e
i
0
1
∧ ··· ∧ e
i
0
q
=
X
∗
A
i
0
1
...i
0
q
i
1
...i
q
e
i
1
∧ ··· ∧ e
i
q
. (5)
                                                                                                                            3

Теорема 1. Всякий кососимметричный тензор валентности q может быть раз-
ложен в линейную комбинацию косых произведений q базисных линейных форм.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим координатное выражение этого тензора
                                        ω(a1 , . . . , aq ) = ωi1 ...iq ai11 . . . aiqq .
Напомним, что координаты всякого вектора есть значения сопряженного базиса на
этом векторе: ai = ei (a) . Поэтому это выражение можно записать в виде
                                   ω(a1 , . . . , aq ) = ωi1 ...iq ei1 (a1 ) . . . eiq (aq ) .
Учитывая кососимметричность тензора и сделанное выше замечание по поводу идем-
потентности оператора альтернирования, эту формулу можно записать также в виде
            ω(a1 , . . . , aq ) = ω[i1 ...iq ] ei1 (a1 ) . . . eiq (aq ) = ωi1 ...iq e[i1 (a1 ) . . . eiq ] (aq ) ,
откуда в силу формулы (2) получим
                               1
                           ω=    ωi ...i ei1 ∧ · · · ∧ eiq .               (3)
                               q! 1 q
Таким образом, указанное разложение найдено. ¤
  Эту формулу записывают также в несколько другом виде, производя суммиро-
вание только по возрастающим последовательностям индексов i1 < i2

Страницы