Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 113 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ
Лекция 27. АЛГЕБРА ВНЕШНИХ ФОРМ.
27.1. Симметрирование и альтернирование тензоров.
Прежде, чем идти дальше, познакомимся еще с двумя тензорными операциями.
Мы рассматриваем n -мерное векторное пространство V и на нем ковариантные
тензоры F = F (a
1
, a
2
, . . . , a
q
) .
1) Симметрирование. Пусть F — ковариантный тензор валентности q ≥ 2 и S
q
— группа подстановок из q элементов. В ней q ! подстановок. Действие подстановки
s ∈ S
q
на тензор определим формулой
(sF )(a
1
, . . . , a
q
) = F (a
s(1)
, . . . , a
s(q)
).
Мы получили тензор с другим порядком аргументов. Операция симметрирования
тензора определяется следующим образом
Sym(F) =
1
q !
X
s∈S
q
sF.
При координатной записи симметрирование обозначается круглыми скобками
F
(i
1
...i
q
)
=
1
q !
X
s∈S
q
F
i
s(1)
... i
s(q)
.
В результате симметрирования мы получаем симметричный тензор, т. е. тензор,
который не изменяется при любой перестановке своих аргументов (индексов).
Пример. Пусть F ковариантный тензор второй валентности. Группа S
2
содер-
жит лишь две подстановки — тождественную и транспозицию. В этом случае
Sym(F)(a, b) =
1
2
(F(a, b) + F(b, a))
или в координатах
F
(ij)
=
1
2
(F
ij
+ F
ji
) .
В результате мы получаем симметричный тензор.
2) Альтернирование. Пусть F — ковариантный тензор валентности 2 ≤ q ≤ m .
Операция альтернирования определяется формулой
Alt(F) =
1
q !
X
s∈S
q
sgn(s)sF,
где sgn(s) = ±1 — знак подстановки s в зависимости от ее четности или нечетности.
При координатной записи альтернирование обозначается квадратными скобками
F
[i
1
...i
q
]
=
1
q !
X
s∈S
q
sgn(s)F
i
s(1)
... i
s(q)
.
В результате мы получаем кососимметричный тензор, т. е. тензор, который изменяет
свой знак при транспозиции любой пары аргументов (индексов). Полезно заметить,
что Alt ◦ Alt = Alt , т. е. оператор альтернирования является идемпотентным. Он
проектирует пространство T
0
q
ковариантных тензоров на подпространство Λ
q
косо-
симметричных тензоров. Вследствие этого, если тензор F
i
1
...i
q
кососимметричен, то
альтернирование его не изменяет: F
[i
1
...i
q
]
= F
i
1
...i
q
.
1
     IV. ИНТЕГРИРОВАНИЕ НА ГЛАДКИХ МНОГООБРАЗИЯХ

                   Лекция 27. АЛГЕБРА ВНЕШНИХ ФОРМ.

  27.1. Симметрирование и альтернирование тензоров.

  Прежде, чем идти дальше, познакомимся еще с двумя тензорными операциями.
Мы рассматриваем n -мерное векторное пространство V и на нем ковариантные
тензоры F = F (a1 , a2 , . . . , aq ) .
  1) Симметрирование. Пусть F — ковариантный тензор валентности q ≥ 2 и Sq
— группа подстановок из q элементов. В ней q ! подстановок. Действие подстановки
s ∈ Sq на тензор определим формулой
                       (sF )(a1 , . . . , aq ) = F (as(1) , . . . , as(q) ).
Мы получили тензор с другим порядком аргументов. Операция симметрирования
тензора определяется следующим образом
                                       1 X
                             Sym(F) =          sF.
                                       q ! s∈S
                                                           q

При координатной записи симметрирование обозначается круглыми скобками
                                         1 X
                          F(i1 ...iq ) =        Fi ... i .
                                         q ! s∈S s(1) s(q)
                                                       q

  В результате симметрирования мы получаем симметричный тензор, т. е. тензор,
который не изменяется при любой перестановке своих аргументов (индексов).
  Пример. Пусть F ковариантный тензор второй валентности. Группа S2 содер-
жит лишь две подстановки — тождественную и транспозицию. В этом случае
                                      1
                       Sym(F)(a, b) = (F(a, b) + F(b, a))
                                      2
или в координатах
                                     1
                              F(ij) = (Fij + Fji ) .
                                     2
В результате мы получаем симметричный тензор.
  2) Альтернирование. Пусть F — ковариантный тензор валентности 2 ≤ q ≤ m .
Операция альтернирования определяется формулой
                                     1 X
                           Alt(F) =          sgn(s)sF,
                                     q ! s∈S
                                                       q

где sgn(s) = ±1 — знак подстановки s в зависимости от ее четности или нечетности.
При координатной записи альтернирование обозначается квадратными скобками
                                        1 X
                         F[i1 ...iq ] =         sgn(s)Fis(1) ... is(q) .
                                        q ! s∈S
                                               q

В результате мы получаем кососимметричный тензор, т. е. тензор, который изменяет
свой знак при транспозиции любой пары аргументов (индексов). Полезно заметить,
что Alt ◦ Alt = Alt , т. е. оператор альтернирования является идемпотентным. Он
проектирует пространство Tq0 ковариантных тензоров на подпространство Λq косо-
симметричных тензоров. Вследствие этого, если тензор Fi1 ...iq кососимметричен, то
альтернирование его не изменяет: F[i1 ...iq ] = Fi1 ...iq .
                                                   1

Страницы