Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

26
и, значит, поле b
0
−b потенциально: b
0
−b = gradF . Другими словами, векторный
потенциал определяется с точностью до градиентного слагаемого: b
0
= b + grad F .
Вследствие этого условия система уравнений упрощается и примет вид (мы заме-
няем индексные обозначения прямоугольных координат обычными)
∂
z
b
2
= −a
1
, ∂
z
b
1
= a
2
, ∂
x
b
2
− ∂
y
b
1
= a
3
.
Интегрируя первые два уравнения, получим
b
1
=
Z
a
2
dz + c
1
(x, y), b
2
= −
Z
a
1
dz + c
2
(x, y) ,
где c
1
(x, y), c
2
(x, y) — произвольные функции. Подставим это в третье уравнение
−∂
x
Z
a
1
dz −∂
y
Z
a
2
dz + ∂
x
c
2
− ∂
y
c
1
= a
3
.
Так как интегрирование ведется по переменной z , то дифференцирование по x и y
можно провести под знаком интеграла
−
Z
(∂
x
a
1
+ ∂
y
a
2
)dz + ∂
x
c
2
− ∂
y
c
1
= a
3
.
Так как поле a соленоидально, то это можно записать так
R
∂
z
a
3
dz +∂
x
c
2
−∂
y
c
1
= a
3
.
Проинтегрировав первое слагаемое, получим
Z
∂
z
a
3
dz = a
3
+ ϕ(x, y),
где ϕ(x, y) — произвольная гладкая функция. В итоге
∂
y
c
1
− ∂
x
c
2
= ϕ(x, y).
Таким образом, мы свели дело к одному дифференциальному уравнению с двумя
переменными. Оно всегда имеет решение. Достаточно, например, взять c
2
(y) и тогда
c
1
=
R
ϕ(x, y)dy + ψ(x) . Тем самым существование поля b доказано. ¤
Задача. Докажите, что в области, не содержащей особых точек, потенциальное
векторное поле не имеет замкнутых траекторий.
26

и, значит, поле b0 − b потенциально: b0 − b = gradF . Другими словами, векторный
потенциал определяется с точностью до градиентного слагаемого: b0 = b + gradF .
   Вследствие этого условия система уравнений упрощается и примет вид (мы заме-
няем индексные обозначения прямоугольных координат обычными)
                     ∂z b2 = −a1 ,   ∂z b1 = a2 ,   ∂x b2 − ∂y b1 = a3 .
Интегрируя первые два уравнения, получим
                    Z                     Z
                b = a dz + c (x, y), b = − a1 dz + c2 (x, y) ,
                 1      2     1        2


где c1 (x, y), c2 (x, y) — произвольные функции. Подставим это в третье уравнение
                             Z          Z
                         −∂x a dz − ∂y a2 dz + ∂x c2 − ∂y c1 = a3 .
                                 1


Так как интегрирование ведется по переменной z , то дифференцирование по x и y
можно провести под знаком интеграла
                       Z
                      − (∂x a1 + ∂y a2 )dz + ∂x c2 − ∂y c1 = a3 .
                                                             R
Так как поле a соленоидально, то это можно записать так ∂z a3 dz +∂x c2 −∂y c1 = a3 .
Проинтегрировав первое слагаемое, получим
                            Z
                               ∂z a3 dz = a3 + ϕ(x, y),

где ϕ(x, y) — произвольная гладкая функция. В итоге
                                 ∂y c1 − ∂x c2 = ϕ(x, y).
Таким образом, мы свели дело к одному дифференциальному уравнению с двумя
переменными.
     R       Оно всегда имеет решение. Достаточно, например, взять c2 (y) и тогда
c1 = ϕ(x, y)dy + ψ(x) . Тем самым существование поля b доказано. ¤
   Задача. Докажите, что в области, не содержащей особых точек, потенциальное
векторное поле не имеет замкнутых траекторий.

Страницы