Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 114 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

2
Аналогично операции симметрирования и альтернирования применяются к кон-
травариантным тензорам.
Пример. Пусть F ковариантный тензор второй валентности. В этом случае
Alt(F)(a, b) =
1
2
(F(a, b) − F(b, a))
или в координатах
F
[
ij] =
1
2
(F
ij
− F
ji
) .
Симметрирование и альтернирование могут применяться и к произвольному тен-
зору по части однотипных аргументов (индексов) — ковариантных или контравари-
антных. При этом индексы, не участвующие в этих операциях, отделяются верти-
кальными чертами. Например,
F
s
(i|j|k)
=
1
2
(F
s
ijk
+ F
s
kji
) .
Задача. Запишите результат симметрирования и альтернирования тензора F (a, b, c)
третьей валентности.
27.2. Косое произведение и внешние формы.
В этом разделе мы подробнее познакомимся с кососимметричными тензорами.
Простейшими из них являются так называемые косые произведения. Пусть α и β
— две линейные формы. Образуем их тензорное произведение α ⊗β и затем выпол-
ним удвоенное альтернирование. В результате получим косое произведение линейных
форм
ω = α ∧ β = 2Alt(α ⊗ β) .
Ее значение на аргументах равно
α ∧ β (a, b) = α(a)β(b) − α (b)β(a) . (1)
Выбирая в качестве аргументов базисные векторы a = e
i
, b = e
j
, найдем компонен-
ты этой 2-формы
ω
ij
= α
i
β
j
− α
j
β
i
=
¯
¯
¯
¯
α
i
α
j
β
i
β
j
¯
¯
¯
¯
.
Вследствие косой симметрии этих компонент здесь достаточно считать, что i < j .
Это C
2
m
миноров 2-го порядка матрицы
µ
α
1
α
2
. . . α
m
β
1
β
2
. . . β
m
.
Понятие косого произведения можно определить и для q линейных форм α
1
, . . . , α
q
.
Для этого надо взять их тензорное произведение, проальтернировать и умножить на
q ! . Мы получим кососимметричный тензор, значение которого на аргументах равно
α
1
∧ ··· ∧ α
q
(a
1
, . . . , a
q
) = q ! Alt(α
1
(a
1
) ···α
q
(a
q
)) . (2)
Положив здесь a
1
= e
i
1
, . . . a
q
= e
i
q
, i
1
< ··· < i
q
, получим существенные компонен-
ты косого произведения
ω
i
1
...i
q
= q ! α
1
[i
1
. . . α
q
i
q
]
=
¯
¯
¯
¯
¯
¯
α
1
i
1
. . . α
1
iq
. . . . . . . . .
α
q
i
1
. . . α
q
i
q
¯
¯
¯
¯
¯
¯
.
Это C
q
m
миноров q -го порядка (q ×m) -матрицы, составленной из координат данных
линейных форм.
2

  Аналогично операции симметрирования и альтернирования применяются к кон-
травариантным тензорам.
  Пример. Пусть F ковариантный тензор второй валентности. В этом случае
                                       1
                       Alt(F)(a, b) = (F(a, b) − F(b, a))
                                       2
или в координатах
                                      1
                              F[ ij] = (Fij − Fji ) .
                                      2
  Симметрирование и альтернирование могут применяться и к произвольному тен-
зору по части однотипных аргументов (индексов) — ковариантных или контравари-
антных. При этом индексы, не участвующие в этих операциях, отделяются верти-
кальными чертами. Например,
                              s       1 s       s
                            F(i|j|k) = (Fijk + Fkji  ).
                                      2
  Задача. Запишите результат симметрирования и альтернирования тензора F (a, b, c)
третьей валентности.
    27.2. Косое произведение и внешние формы.

  В этом разделе мы подробнее познакомимся с кососимметричными тензорами.
Простейшими из них являются так называемые косые произведения. Пусть α и β
— две линейные формы. Образуем их тензорное произведение α ⊗ β и затем выпол-
ним удвоенное альтернирование. В результате получим косое произведение линейных
форм
                            ω = α ∧ β = 2Alt(α ⊗ β) .
Ее значение на аргументах равно
                                α ∧ β (a, b) = α(a)β(b) − α(b)β(a) .                            (1)
Выбирая в качестве аргументов базисные векторы a = ei , b = ej , найдем компонен-
ты этой 2-формы                                 ¯       ¯
                                                ¯ αi αj ¯
                         ωij = αi βj − αj βi = ¯¯       ¯.
                                                  βi βj ¯
Вследствие косой симметрии этих компонент здесь достаточно считать, что i < j .
      2
Это Cm  миноров 2-го порядка матрицы
                             µ                      ¶
                                α1 α2 . . . αm
                                                      .
                                β1 β2 . . . βm
    Понятие косого произведения можно определить и для q линейных форм α1 , . . . , αq .
Для этого надо взять их тензорное произведение, проальтернировать и умножить на
q ! . Мы получим кососимметричный тензор, значение которого на аргументах равно
                      α1 ∧ · · · ∧ αq (a1 , . . . , aq ) = q ! Alt(α1 (a1 ) · · · αq (aq )) .   (2)
Положив здесь a1 = ei1 , . . . aq = eiq , i1 < · · · < iq ,          получим существенные компонен-
ты косого произведения
                                                        ¯ 1                          ¯
                                                        ¯ αi           ...      1
                                                                              αiq    ¯
                                                        ¯ 1                          ¯
                    ωi1 ...iq = q ! α[i1 . . . αiq ] = ¯¯ . . .
                                      1         q
                                                                       ...    ...    ¯.
                                                                                     ¯
                                                        ¯ αiq          ...    αiqq   ¯
                                                              1
      q
Это Cm  миноров q -го порядка (q ×m) -матрицы, составленной из координат данных
линейных форм.

Страницы