Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 111 стр.

                                                                                      25

  Разделив на объем V окрестности и переходя к пределу при V → 0 (и тогда
B → A ), т. е. стягивая эту окрестность к точке A , получим
                                             RR
                                                (a, m)dσ
                             DivA (a) = lim M            .                (47)
                                        V →0     V
Эта формула (47) выясняет смысл значения дивергенции в данной точке. С точки
зрения теории сплошных сред дивергенцию в зависимости от ее знака можно трак-
товать как меру увеличения или уменьшения объема среды в оерестности данной
точки. Если Diva = 0 , среда называется несжимаемой.
  Другое отличительное свойство соленоидального поля состоит в следующем. Рас-
смотрим замкнутый контур Γ , трансверсальный к траекториям поля. Это означает,
что он ни в одной точке не касается траекторий. Для простоты контур выберем
плоским. Проведем через его точки траектории поля. Образованная этими кривыми
фигура называется векторной трубкой. Тогда имеет место
Теорема 17. Поток соленоидального поля через любое сечение векторной трубки
постоянен.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим часть векторной трубки, ограниченную
двумя плоскими сечениями. Получилась замкнутая поверхность M , состоящая из
трех частей: двух оснований K1 , K2 (в порядке RR
                                                возрастания параметра) и боковой
поверхности K3 . По предыдущей теореме поток K (a, m)dσ = 0 , причем нормаль-
ный вектор m всюду направлен во внешнюю сторону поверхности. Тогда
                ZZ              ZZ              ZZ
                     (a, m)dσ +      (a, m)dσ +      (a, m)dσ = 0.
                    K1                   K2                    K3

Так как векторы поля касаются траекторий, на боковой поверхности a⊥m и поэтому
последний интеграл равен нулю. Что касается первого интеграла, заменим вектор m
на −m , изменив ориентацию сечения K1 . Тогда
                          ZZ               ZZ
                       I=       (a, m)dσ =       (a, m)dσ.
                                  −K1                     K2

Это равенство доказывает утверждение. ¤
  Величина I называется мощностью трубки.
Теорема 18. Для того чтобы векторное поле было соленоидальным, необходимо и
достаточно, чтобы оно являлось ротацией некоторого векторного поля: a = rotb .
  Поле b называется векторным потенциалом.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность этого утверждения следует из простой
проверки того, что Divrot a ≡ 0 . Действительно, в прямоугольных координатах
               ∂1 (∂2 a3 − ∂3 a2 ) + ∂2 (∂3 a1 − ∂1 a3 ) + ∂3 (∂1 a2 − ∂2 a1 ) ≡ 0.
  Обратно, пусть Diva = 0 . Докажем существование векторного потенциала b . Для
этого выберем в области V прямоугольные координаты. Тогда компоненты искомо-
го поля должны удовлетворять системе дифференциальных уравнений в частных
производных первого порядка
               ∂2 b3 − ∂3 b2 = a1 ,     ∂3 b1 − ∂1 b3 = a2 ,   ∂1 b2 − ∂2 b1 = a3 .
Будем искать частное решение этой системы, наложив на искомые функции допол-
нительное ограничение, например b3 = 0 . Это можно сделать в силу того, что если
b и b0 — два решения и, следовательно, rot b = a и rot b0 = a , то rot (b0 − b) = 0