Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 109 стр.

                                                                                        23

   Д о к а з а т е л ь с т в о. Если поле потенциально, то его ковариантные компоненты
ai = ∂i F . Тогда (a, dr) = ∂i F dxi = dF есть Hполный дифференциал и в случае, когда
контур охватывает односвязную область, C dF = 0 . Обратно, если интеграл (45)
по любому замкнутому контуру равен нулю, то подинтегральное выражение есть
дифференциал некоторой функции F и, следовательно, ai = ∂i F . ¤
Теорема 15. Векторное поле в односвязной области потенциально тогда и только
тогда, когда его работа вдоль пути, соединяющего две данные точки A и B , не
зависит от выбора этого пути.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Γ1 и Γ2 — два пути, соединяющие A с B .
Рассмотрим замкнутый контур C = Γ1 − Γ2 . По предыдущей теореме равенство
нулю циркуляции поля по контуру C есть необходимое и достаточное условие его
потенциальности. Тогда имеем
                    W (C) = W (Γ1 − Γ2 ) = W (Γ1 ) − W (Γ2 ) = 0. ¤
  По доказанному, число
                                        Z
                           W (A, B) =           dF = F (B) − F (A)
                                            Γ
зависит только от выбора точек и называется разностью потенциалов.
  Пример. Рассмотрим векторное поле a = − re3 r , r 6= 0 , заданное в сфериче-
ских координатах (r, θ, ϕ) . Такое поле создается электрическим зарядом величи-
ны e , помещенным в полюс этих координат. Так как r = r(cos θe(ϕ) + sin θk) , то
a = − re2 (cos θe(ϕ)+sin θk) и, как нетрудно видеть, имеет компоненты a = (− re2 , 0, 0) .
Оно потенциально с потенциалом F = re . Следовательно, работа этого поля опреде-
ляется лишь положением точек и равна разности потенциалов W (A◦ , A) = e( 1r − r1◦ ) .


  26.2. Поток векторного поля.

  Понятие потока векторного поля возникает из следующего гидродинамического
примера. Рассмотрим в 3-мерном пространстве параллелограмм, построенный на па-
ре не параллельных векторов p, q . Тогда количество жидкости, протекающее через
эту площадку за единицу времени со скоростью a равно ориентированному объему
паралллелепипеда, построенного на этих векторах, т. е. смешанному произведению
Q = (a, p, q) . Если σ — площадь параллелограмма, а m — единичный вектор его
нормали такой, что тройка p, q, m правая, то [p, q] = σm и смешанное произведение
можно записать в виде Q = (a, m)σ .
  Пусть теперь K ⊂ M — область ориентированной поверхности с параметрическим
уравнением r = r(u, v) , ограниченная кусочно гладкой замкнутой кривой. Сетью
координатных линий uα = cα , vβ = cβ разобьем ее на малые криволинейные 4-
угольники и обозначим через aαβ значение вектора скорости в произвольно выбран-
ной его точке. Каждый из 4-угольников, отбрасывая малые второго порядка, заменим
параллелограммом в касательной плоскости точки (uα , vβ ) , построенном на векто-
рах r1 (uα , vβ )∆uα и r2 (uα , vβ )∆vβ (см. лекцию 11). Его площадь обозначим через
4σαβ , а орт нормального вектора через mαβ . Тогда, согласно сказанному выше, эле-
ментарный поток жидкости через площадку 4σαβ равен 4Qαβ = (aαβ , mαβ )4σαβ .
Суммируя их по всей области и переходя к пределу, получим интеграл
                                            ZZ
                                    Q(U ) =     (a, m)dσ.                       (46)
                                                  K