Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 107 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

21
удовлетворяются. Рассмотрим уравнения (b). Для каждого номера i
0
набор функ-
ций f
i
0
i
(x) = ∂
i
f
i
0
(x) будем рассматривать как компоненты ковектора-градиента и
поэтому эти уравнения можно записать в виде ∇
j
f
i
0
i
= 0 . Дифференцируя их кова-
риантно еще раз, получим ∇
k
∇
j
f
i
0
i
= 0 , откуда (∇
k
∇
j
− ∇
j
∇
k
)f
i
0
i
= R
s
ikj
f
i
0
s
= 0 . В
силу невырожденности якобиевой матрицы f
i
0
s
получим R
s
ikj
= 0 . Значит, поскольку
это условие предполагается выполненным, рассматриваемая система имеет решение.
Тем самым существование декартовых координат в рассматриваемой области дока-
зано. ¤
Следствие. Параллельное перенесение в односвязном многообразии (M, ∇) не за-
висит от пути перенесения тогда и только тогда, когда это многообразие локально
аффинное.
Это утверждение вытекает из формулы ∆a
k
= t
2
R
k
sij
(x)F
ij
(x)a
s
(лекция 25) и до-
казанной теоремы. Пояснения требует лишь необходимость условия. Если при любом
выборе исходной точки, 2-мерной поверхности и путей перенесения ∆a
k
= 0 , то в
силу произвольности в выборе исходного вектора a , бивектора F
ij
и параметра t
получим, что тензор кривизны равен нулю. Следует лишь проследить, чтобы пути
охватывали односвязную область.
Все сказанное относится, конечно и к римановым пространствам. В этом случае
доказанная теорема может быть уточнена следующим образом.
Теорема 13. Для того, чтобы риманово многообразие (M, g) было локально евкли-
довым, необходимо и достаточно, чтобы его тензор кривизны был равен нулю.
Для доказательства следует лишь заметить, что в декартовых координатах компо-
ненты метрического тензора пространства g
ij
= (e
i
, e
j
) = const и обращение в нуль
символов Кристоффеля Γ
k
ij
= 0 является следствием этого свойства.
                                                                                     21

удовлетворяются. Рассмотрим уравнения (b). Для каждого номера i0 набор функ-
       0            0
ций fii (x) = ∂i f i (x) будем рассматривать как компоненты ковектора-градиента и
                                                    0
поэтому эти уравнения можно записать в виде ∇j fii = 0 . Дифференцируя их кова-
                                    0                              0           0
риантно еще раз, получим ∇k ∇j fii = 0 , откуда (∇k ∇j − ∇j ∇k )fii = Rsikj fsi = 0 . В
                                              0
силу невырожденности якобиевой матрицы fsi получим Rsikj = 0 . Значит, поскольку
это условие предполагается выполненным, рассматриваемая система имеет решение.
Тем самым существование декартовых координат в рассматриваемой области дока-
зано. ¤
  Следствие. Параллельное перенесение в односвязном многообразии (M, ∇) не за-
висит от пути перенесения тогда и только тогда, когда это многообразие локально
аффинное.
  Это утверждение вытекает из формулы ∆ak = t2 Rksij (x)F ij (x)as (лекция 25) и до-
казанной теоремы. Пояснения требует лишь необходимость условия. Если при любом
выборе исходной точки, 2-мерной поверхности и путей перенесения ∆ak = 0 , то в
силу произвольности в выборе исходного вектора a , бивектора F ij и параметра t
получим, что тензор кривизны равен нулю. Следует лишь проследить, чтобы пути
охватывали односвязную область.
  Все сказанное относится, конечно и к римановым пространствам. В этом случае
доказанная теорема может быть уточнена следующим образом.
Теорема 13. Для того, чтобы риманово многообразие (M, g) было локально евкли-
довым, необходимо и достаточно, чтобы его тензор кривизны был равен нулю.
  Для доказательства следует лишь заметить, что в декартовых координатах компо-
ненты метрического тензора пространства gij = (ei , ej ) = const и обращение в нуль
символов Кристоффеля Γkij = 0 является следствием этого свойства.

Страницы