Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 105 стр.

                                                                                             19

      Лекция 25. ТЕНЗОР КРИВИЗНЫ РИМАНОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

  25.1. Свойства тензора кривизны римановых пространств.

  Если многообразие риманово, то его тензор кривизны обладает рядом дополни-
тельных свойств.
Теорема 10. Тензор кривизны риманова пространства полностью определяется
его метрическим тензором.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Из формулы
                       Rkmij (x) = ∂i Γkjm − ∂j Γkim + Γkis Γsjm − Γkjs Γsim               (39)
следует, что компоненты тензора кривизны вычисляются через компоненты связно-
сти и их частные производные. Но в случае риманова пространства эти компоненты
суть символы Кристоффеля, которые определяются через компоненты метрического
тензора и их частные производные первого порядка
                                1
                          Γkij = g ks (∂i gjs + ∂j gis − ∂s gij ).         (40)
                                2
Отсюда следует, что компоненты тензора кривизны есть некоторые функции компо-
нент метрического тензора и их частных производных до второго порядка. ¤
  Как мы уже отмечали в предыдущей лекции, в силу (39) компоненты тензора кри-
визны кососимметричны по последней паре индексов. Покажем, что в случае рима-
нова пространства он обладает дополнительными свойствами симметрии. Для этого,
опустив верхний индекс с помощью метрического тензора, рассмотрим ковариантные
компоненты этого тензора Rkmij = gks Rsmij .
Теорема 11. В римановом пространстве ковариантные компоненты тензора кри-
визны не изменяются при перестановке первой и второй пары индексов и кососим-
метричны по первой паре
                             Rkmij = Rijkm ,      Rkmij = −Rmkij .
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем сначала первое из этих свойств. Для этого
обратимся к формуле (39), из которой имеем
                     Rkmij = gkr (∂i Γrjm − ∂j Γrim + Γris Γsjm − Γrjs Γsim ) .
Введем компоненты
                                      1
                   Γkjm = gkr Γrjm = (∂j gmk + ∂m gjk − ∂k gjm ),      (41)
                                      2
полученные из символов Кристоффеля опусканием верхнего индекса. Дифференци-
руя их, получим
                         gkr ∂i Γrjm = ∂i Γkjm − ∂i gks Γsjm .
Но для римановой связности ∇i gks = 0 и поэтому ∂i gks = grs Γrik + gkr Γris . Следова-
тельно,
                    gkr ∂i Γrjm = ∂i Γkjm − (grs Γrik + gkr Γris )Γsjm ,
что с учетом (41) дает
                         1
            gkr ∂i Γrjm = (∂ij2 gkm + ∂im
                                       2         2
                                          gjk − ∂ik gjm ) − (grs Γrik + gkr Γris )Γsjm .
                         2