Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 103 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

17
Если поле a потенциально, т.е. a
i
= g
ij
∇
j
F , то вследствие ковариантного посто-
янства метрического тензора его дивергенция принимае следующий вид
4 = g
ij
∇
i
∇
j
F.
Это оператор Лапласа.
Определение. Если дивергенция векторного поля равна нулю, то оно называется
соленоидальным.
Найдем развернутое выражение формулы (35) в координатах, позволяющее не на-
ходить символы Кристоффеля и поэтому удобное при вычислениях. Из формулы для
ковариантных производных имеем
Diva = ∂
i
a
i
+ Γ
i
ik
a
k
.
Вычислим величины Γ
i
ik
. Для этого рассмотрим объем параллелепипеда V (x) =
ε(∂
1
, . . . , ∂
n
) =
√
g , где g = det(g
ij
) , построенного на векторах натурального репера.
Он равен компоненте ε
12...n
дискриминантного тензора. Изменение этого объема при
смещении точки x характеризуется частными производными
∂
k
V = ε(∂
k
∂
1
, . . . , ∂
n
) + ··· + ε(∂
1
, . . . , ∂
k
∂
n
).
Используя деривационные уравнения, получим ∂
k
V = Γ
i
ik
V и, следовательно, Γ
i
ik
=
∂
k
ln
√
g , . Таким образом, в итоге имеем
Diva = ∂
i
a
i
+ a
k
∂
k
ln
√
g .
Пример. Вычислим дивергенцию векторного поля на плоскости в полярных ко-
ординатах: r = re(ϕ) . Так как g
11
= 1, g
12
= 0, g
22
= r
2
, то g = r
2
. Получим
Diva = ∂
1
a
1
+ ∂
2
a
2
+
1
r
a
1
.
Рассмотрим теперь ковариантные компоненты a
j
векторного поля и ковариант-
ные производные ∇
i
a
j
. Это тензорное поле валентности (0, 2) . Разложим его на
симметричный и кососимметричный тензоры: ∇
i
a
j
= ∇
(i
a
j)
+ ∇
[i
a
j]
. Первый из
них называется тензором деформации. Что касается кососимметричного тензора
w
ij
=
1
2
(∇
i
a
j
− ∇
j
a
i
) , то силу симметрии по нижним индексам символов Кристоф-
феля его можно выразить только через частные производные
w
ij
=
1
2
(∂
i
a
j
− ∂
j
a
i
). (36)
Он называется тензором вращения векторного поля. Это выражение нам уже встре-
чалось в формуле (34). С помощью этого тензора теорему (8) можно сформулировать
следующим образом: Для того, чтобы векторное поле a было потенциально, необ-
ходимо, а в случае односвязной области и достаточно, чтобы его тензор вращения
был равен нулю.
Рассмотрим этот тензор в 3-мерном пространстве. Заметим, что в этом случае он
имеет только три существенные компоненты: w
23
, w
31
, w
12
. Но столько же компо-
нент имеет и векторное поле. Биективное соответствие между ними мы запишем с
помощью дискриминантного тензора
w
k
= ε
ijk
w
ij
= ε
ijk
∂
i
a
j
. (37)
При n = 3 , как мы знаем из лекц. 11, он имеет единственную существенную ком-
поненту ε
123
=
1
√
g
. Итак, мы получили векторное поле, присоединенное к полю a ,
                                                                                          17

  Если поле a потенциально, т.е. ai = g ij ∇j F , то вследствие ковариантного посто-
янства метрического тензора его дивергенция принимае следующий вид
                                          4 = g ij ∇i ∇j F.
Это оператор Лапласа.
  Определение. Если дивергенция векторного поля равна нулю, то оно называется
соленоидальным.
  Найдем развернутое выражение формулы (35) в координатах, позволяющее не на-
ходить символы Кристоффеля и поэтому удобное при вычислениях. Из формулы для
ковариантных производных имеем
                                       Diva = ∂i ai + Γiik ak .
Вычислим величины Γiik . Для этого рассмотрим объем параллелепипеда V (x) =
                     √
ε(∂1 , . . . , ∂n ) = g , где g = det(gij ) , построенного на векторах натурального репера.
Он равен компоненте ε12...n дискриминантного тензора. Изменение этого объема при
смещении точки x характеризуется частными производными
                      ∂k V = ε(∂k ∂1 , . . . , ∂n ) + · · · + ε(∂1 , . . . , ∂k ∂n ).
Используя деривационные уравнения, получим ∂k V = Γiik V и, следовательно, Γiik =
     √
∂k ln g , . Таким образом, в итоге имеем
                                                     √
                              Diva = ∂i ai + ak ∂k ln g .
  Пример. Вычислим дивергенцию векторного поля на плоскости в полярных ко-
ординатах: r = re(ϕ) . Так как g11 = 1, g12 = 0, g22 = r2 , то g = r2 . Получим
                                                        1
                                  Diva = ∂1 a1 + ∂2 a2 + a1 .
                                                        r
  Рассмотрим теперь ковариантные компоненты aj векторного поля и ковариант-
ные производные ∇i aj . Это тензорное поле валентности (0, 2) . Разложим его на
симметричный и кососимметричный тензоры: ∇i aj = ∇(i aj) + ∇[i aj] . Первый из
них называется тензором деформации. Что касается кососимметричного тензора
wij = 12 (∇i aj − ∇j ai ) , то силу симметрии по нижним индексам символов Кристоф-
феля его можно выразить только через частные производные
                                     1
                               wij = (∂i aj − ∂j ai ).                      (36)
                                     2
Он называется тензором вращения векторного поля. Это выражение нам уже встре-
чалось в формуле (34). С помощью этого тензора теорему (8) можно сформулировать
следующим образом: Для того, чтобы векторное поле a было потенциально, необ-
ходимо, а в случае односвязной области и достаточно, чтобы его тензор вращения
был равен нулю.
  Рассмотрим этот тензор в 3-мерном пространстве. Заметим, что в этом случае он
имеет только три существенные компоненты: w23 , w31 , w12 . Но столько же компо-
нент имеет и векторное поле. Биективное соответствие между ними мы запишем с
помощью дискриминантного тензора
                                     wk = εijk wij = εijk ∂i aj .                       (37)
При n = 3 , как мы знаем из лекц. 11, он имеет единственную существенную ком-
поненту ε123 = √1g . Итак, мы получили векторное поле, присоединенное к полю a ,

Страницы