Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 102 стр.

16

     24.2. Дифференциальные операторы в теории поля.

  Наличие метрического тензора в римановом многообразии (M, g) вносит некото-
рые особенности при работе с тензорными полями, рассмотренными в лекц. 22. Как
мы уже отмечали, в (M, g) существует изометрия Tx (M ) → Tx∗ (M ) между касатель-
ными и кокасательными пространствами в каждой точке, которая осуществляется с
помощью опускания и поднятия индекса. Аналогичную операцию можно делать и с
тензорными полями произвольной валентности (п. 10.1).
  Рассмотрим некоторые тензорные поля в римановом пространстве, образуемые с
помощью ковариантных производных. Пусть задано скалярное поле F (x) . Его кова-
риантные производные совпадают с частными: ∇i F = ∂i F . В итоге, судя по закону
преобразования, получили ковекторное поле ξ = gradF , называемое градиентом по-
ля F . При этом поле F (x) называется его потенциалом. Подняв индекс, получим
векторное поле ai = g ij ∇j F — контравариантные компоненты градиента. Возника-
ет вопрос, всякое ли ковекторное поле является градиентом некоторого скалярного
поля? Ответ оказывается отрицательным. Имеет место
Теорема 9. Для того, чтобы ковекторное поле ξ , заданное в области U ⊂ (M, g)
было потенциальным, необходимо, а в односвязной области и достаточно, чтобы
выполялось условие
                              ∇i ξj − ∇j ξi = 0.                         (34)
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть задано ковекторное поле ξ . Если оно потенциаль-
но, то должна существовать функция F (x) , удовлетворяющая дифференциальному
уравнению (??)
                                   ∂F
                                       = ξj (x1 , . . . , xm ).
                                   ∂xj
Найдем условие, при котором решение F существует (условие интегрируемости).
Подставив его в уравнение, получим тождество. Дифференцируя его ковариантно,
получим ∇i ∂j F ≡ ∇i ξj или подробнее
                               ∂i ∂j F − Γkij ∂k F ≡ ∇i ξj
Здесь левая часть симметрична относительно индексов i, j . Поэтому должна быть
симметрична и правая. Отсюда получаем условие (34). Пусть теперь это условие
выпонено. Тогда dF = ξi dxi есть полный дифференциал. Выберем некоторую точку
и путь Γ : x = x(t) , соединяющий ее с произвольной точкой x заданной области.
Тогда, как известно из анализа, если область односвязна, функция
                                        Z
                                 F (x) = ξi (x)dxi
                                            Γ
не зависит от пути интегрирования и, следовательно, определяется однозначно. ¤
  Пусть, далее, задано векторное поле a с компонентами ai (x) . Ковариантные про-
изводные ∇j ai образуют тензорное поле валентности (1, 1) . Его след есть скалярное
поле
                                  Diva = ∇i ai ,                                (35)
которое называется дивергенцией векторного поля a .
  Нетрудно проверить следующие свойства этого дифференциального оператора:

      1) Div(a + b) = Diva + Divb; 2) Div(f (x)a) = f (x)Diva + (gradf (x), a).
В частности, если λ ∈ R , то это число можно вынести за знак дивергенции.