Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. Шапуков Б.Н. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

15
Определим еще понятие объема. Пусть в римановом пространстве задан компакт
Q ∈ (M, g) , ограниченный кусочно-гладкой гиперповерхностью. Предположим сна-
чала, что Q покрывается одной картой.
Определение. Ориентируемым объемом области Q ∈ (M, g) называется число
V (Q) =
Z
···
Z
Q
p
g(x) dx
1
···dx
n
.
Эта формула является многомерным обобщением той формулы, которая была полу-
чена в лекции 13 для вычисления площади на поверхности евклидова пространства,
и выводится она аналогичным образом. Заметим, что под знаком интеграла стоит су-
щественная компонента ε
12...n
=
p
g(x) дискриминантного тензора (п. 10.2). В силу
компактности Q можно покрыть конечным числом карт. В этом случае дело сведет-
ся к суммированию конечного числа интегралов. Поробнее вопрос об интегрировании
мы рассмотрим в разделе IV.
Как ведет себя метрика риманова пространства при параллельном перенесении?
Это зависит от того, какую связность мы зададим на многообразии. Оказывается,
справедлива
Теорема 8. (Риччи) Существует единственная симметричная связность такая,
что при параллельном перенесении векторов по любому пути сохраняется их ска-
лярное произведение.
Это условие означает, что линейный изоморфизм касательных пространств при
параллельном перенесении является изометрией. Такая связность называется рима-
новой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть при параллельном перенесении
векторов a и b вдоль любого пути x = x(t) , т. е. при условиях
da
k
dt
+ Γ
k
ij
(x(t))
dx
i
dt
a
j
(t) = 0,
db
k
dt
+ Γ
k
ij
(x(t))
dx
i
dt
b
j
(t) = 0
сохраняется скалярное произведение этих векторов — функция f(t) = g
ij
(t)a
i
(t)b
j
(t)
и, следовательно,
df
dt
= 0 . Дифференцируя это тождество и учитывая условие парал-
лельного перенесения, после несложных выкладок получим
df
dt
= (∂
k
g
ij
− Γ
s
ki
g
sj
− Γ
s
kj
)a
i
b
j
dx
k
dt
= 0.
Заметим, что выражения в скобках есть ковариантные производные метрического
тензора. Принимая во внимание произвольность в выборе векторов a , b и пути,
отсюда получим систему алгебраических уравнений
∇
k
g
ij
= ∂
k
g
ij
− Γ
s
ki
g
sj
− Γ
s
kj
g
is
= 0
для компонент связности. Эта система знакома нам по лекции 18. Как там показано,
она имеет единственное решение — символы Кристоффеля
Γ
k
ij
=
1
2
g
ks
(∂
i
g
js
+ ∂
j
g
is
− ∂
s
g
ij
). ¤ (33)
Следствие. Если связность риманова, то при параллельном перенесении сохра-
няется угол между векторами и длина вектора.
В частности, при параллельном перенесении вектора вдоль геодезического пути со-
храняется угол между вектором и единичным касательным вектором геодезической.
Действительно, последний переносится параллельно по определению.
                                                                                    15

  Определим еще понятие объема. Пусть в римановом пространстве задан компакт
Q ∈ (M, g) , ограниченный кусочно-гладкой гиперповерхностью. Предположим сна-
чала, что Q покрывается одной картой.
  Определение. Ориентируемым объемом области Q ∈ (M, g) называется число
                               Z      Z p
                        V (Q) = · · ·     g(x) dx1 · · · dxn .
                                      Q

Эта формула является многомерным обобщением той формулы, которая была полу-
чена в лекции 13 для вычисления площади на поверхности евклидова пространства,
и выводится она аналогичным образом.
                               p     Заметим, что под знаком интеграла стоит су-
щественная компонента ε12...n = g(x) дискриминантного тензора (п. 10.2). В силу
компактности Q можно покрыть конечным числом карт. В этом случае дело сведет-
ся к суммированию конечного числа интегралов. Поробнее вопрос об интегрировании
мы рассмотрим в разделе IV.
  Как ведет себя метрика риманова пространства при параллельном перенесении?
Это зависит от того, какую связность мы зададим на многообразии. Оказывается,
справедлива
Теорема 8. (Риччи) Существует единственная симметричная связность такая,
что при параллельном перенесении векторов по любому пути сохраняется их ска-
лярное произведение.
  Это условие означает, что линейный изоморфизм касательных пространств при
параллельном перенесении является изометрией. Такая связность называется рима-
новой.
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, пусть при параллельном перенесении
векторов a и b вдоль любого пути x = x(t) , т. е. при условиях
              dak               dxi j         dbk               dxi j
                  + Γkij (x(t))    a (t) = 0,     + Γkij (x(t))    b (t) = 0
               dt               dt            dt                dt
сохраняется скалярное произведение этих векторов — функция f (t) = gij (t)ai (t)bj (t)
и, следовательно, df
                  dt
                     = 0 . Дифференцируя это тождество и учитывая условие парал-
лельного перенесения, после несложных выкладок получим
                     df                                    dxk
                        = (∂k gij − Γski gsj − Γskj )ai bj     = 0.
                     dt                                     dt
Заметим, что выражения в скобках есть ковариантные производные метрического
тензора. Принимая во внимание произвольность в выборе векторов a , b и пути,
отсюда получим систему алгебраических уравнений
                         ∇k gij = ∂k gij − Γski gsj − Γskj gis = 0
для компонент связности. Эта система знакома нам по лекции 18. Как там показано,
она имеет единственное решение — символы Кристоффеля
                             1
                       Γkij = g ks (∂i gjs + ∂j gis − ∂s gij ). ¤           (33)
                             2
  Следствие. Если связность риманова, то при параллельном перенесении сохра-
няется угол между векторами и длина вектора.
В частности, при параллельном перенесении вектора вдоль геодезического пути со-
храняется угол между вектором и единичным касательным вектором геодезической.
Действительно, последний переносится параллельно по определению.

Страницы